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几何原本简介

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第6章 几何公理法简介

6.2  欧几里得的《几何原本》

欧几里得是古希腊最伟大的一位几何学家.他是柏拉图派的学生,曾在埃及的亚历山大城教过数学,并且是希腊的亚历山大学派的创始人.
欧几里得在他的千古不朽的名著《几何原本》(以后简称为《原本》)中,不仅非常详尽地搜集了当时人们所知道的一切几何学方面的资料,而且还把这些非常分散的知识用逻辑推理的方法,把它们编排成为一个系统的理论体系.他把几何学,依照亚里斯多德所说的严密科学理论的要求建筑在几个最初的假设(定义、公设、公理)上,由这些假设利用逻辑推理导出后面的一切定理.不仅如此,欧几里得还示范式地规定了几何证明的方法,主要的是分析法、综合法和归谬法.因此,欧几里得的《原本》,不但在完善和充实上大大地超过了在它以前的所有几何学著作,并且在以后的两千余年间依然没有一部几何著作可以和它比美.虽然十九世纪二十年代,俄国伟大的数学家尼•伊•罗巴切夫斯基(1792——1856年)有了新的发现,使几何学发生了革命,但直到现在,中学几何教科书中的叙述方法,仍与《原本》没有多大的实质性的差别.
欧几里得《原本》的基本结构是定义、公设和公理的系统.《原本》共有十三卷,其中1、2、3、4、6、11、12、13、卷属于几何本身,其余则讲比例(用几何方式来叙述)和算术(属代数学的内容).第一卷,包括三角形全等的条件、三角形的边角关系、平行线的理论以及三角形、多边形面积相等的理论.第二卷,叙述了如何把多边形变成等积的正方形.第三卷,叙述了圆的性质.第四卷,讨论了圆的内接和外切多边形.第六卷,论述了相似多边形.在最后三卷中,叙述了立体几何的理论.
《原本》的每卷里,首先给要建立相互关系的一些重要概念下了定义.例如在第一卷里,首先列举了23个定义.为便于以后分析研究,在这里我们摘引最先的八个:
定义
1. 点是没有部分的.
2. 线是有长度而没有宽度的.
3. 线的界限是点.
4. 直线是这样的线,它上面的点是一样放置着的.
5. 面是只有长度和宽度的.
6. 面的界限是线.
7. 平面是这样的面,它上面的直线是一样放置着的.
8. 平面上的角度是平面上的两条相交直线相互的倾斜度.
在定义以后,欧几里得引进了公设和公理:
公设
1. 从任一点到另一点可以引直线.
2. 每条直线都可以无限延长.
3. 以任意点作中心可以用任意半径作圆周.
4. 所有的直角都相等.
5. 平面上两直线被第三直线所截,若截线一侧的两内角之和小于二直角,则两直线必相交于截线的这一侧.
公理
1. 等于同一量的量彼此相等.
2. 等量加等量得到等量.
3. 等量减等量得到等量.
4. 不等量加等量得到不等量.
5. 等量的两倍相等.
6. 等量的一半相等.
7. 能合同的量相等.
8. 全体大于部分.
在公理后面,欧几里得按逻辑关系叙述了几何定理,把它们按一定的顺序,排成使得每个定理可以根据前面的命题、公设和定理来证明.他整理几何所用的方法是正确的,编著的《原本》是伟大的,但由于历史的局限性,欧几里得不可能把作为几何根基的基础整理得完美无缺.因此在《原本》的逻辑系统中显示出许多漏洞来. 
首先在概念方面,欧几里得要给他的书里所遇到的所有概念来下定义,实际上这是不可能的.例如“点”、“线”、“面”就是不能下定义的原始概念.所以,在欧几里得的《原本》里,除了一些有价值的定义外,也有一些定义并没有起定义的作用.例如定义4,直线是关于它上面的点都一样放置着的线,这句话可随便解释.可以解释为直线在它的所有点处都有同一方向,但是这样以来,就必须建立“方向”这个概念;也可以解释为,任何直线都可以合同,但是这样以来就必须建立“合同”(或“叠合”、“运动”)这个概念.其它如定义1,“点是没有部分的”,这个定义本身并没有什么精确的几何内容,所以在《原本》中连欧几里得本人都不能应用这样的定义.



1楼2006-06-13 21:27回复
    关于《原本》中列举的公设和公理,若严格按逻辑要求来证明以后的所有定理,这些公设与公理是不够的.例如,虽然欧几里得用到了连续性,但在他的公理系统中却没有连续公理.《原本》中第一卷第一个命题是这样的:在一定直线(应为线段)上作一等边三角形.
    设 是已知的一定直线。要作立在定直线 上的等边三角形.
    以 为中心, 为距离画一圆,且以 为中心, 为距离以画一圆。连结这两圆的交点 与两点 和 ,由于点 是圆 的中心, ;由于点 是圆 的中心 ,所以 .因此,三角形 是等边三角形,并且是立在定直线 上的,这就是所求的.
    在这段论证中,欧几里得是以直观为依据的,他引用了“如果两个圆中的每一个都通过另一个的内点,则两圆心相交于某一点”这样的事实,然而他却没有以公理的形式加以规定.其它如“在直线上两点之间的点”,“在直线的同一侧的点”,“在多边形内的点”等,欧几里得在公设和公理中,从没有对这些概念时,都是依靠直观感觉.然而,在几何学的严谨结构里,每一命题,不论是多么显然,如果它不被公理所包含的话,就应该证明.此外,欧几里得的某些公理是不够肯定和确切的,例如公理8就是这样.
    根据上面所说,《原本》公理体系的最大的缺点是没能够包含几何学无可非议的逻辑根据.古代的学者们已经注意到了欧几里得《原本》的缺点,阿基米德(公元前287——212年)就曾扩大了《原本》中的公设,增加了长度、面积和体积的测度理论.欧几里得只是确定了长度间、面积间、体积间的比值,而阿基米德引进了度量几何的五个公设,其中第五个公设在现代几何中我们还经常地应用.这个公设是这样写的:“两条不等的线段,两个不等的面或两个不等的体,其中较小的一个量增加适当的倍数后,可以变成大于较大的一个量”.现在这个公理是这样陈述的:“任何两线段 和 ,如果  ,则必存在正整数 ,使得 成立”.这个公理是度量几何的理论根据,以后我们还会谈到它.
    欧几里得《原本》虽然有它的缺点,但它却有着巨大的历史意义.《原本》是几何学方面最早的经典著作,它是在公理法的基础上,逻辑地创造几何学的先例,为后代数学家指明了研究几何的正确的方向.特别是现代数学里占统治地位的公理法,其来源就是欧几里得的《原本》.
    欧几里得以后的古代数学家,为改进欧几里得公理体系进行了两千多年的努力.他们一方面消除《原本》中逻辑上的缺点,使《原本》的公理体系变得更完全、更正确.另一方面则是试图证明欧几里得的第五公设.

    


    2楼2006-06-13 21:27
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