10542 求助

由10501, 知道∠BXE=∠CXD=90°, 所以∠DXB=∠EXC, 由熟知结论知道AX和AT为∠BAC的等角线(反演), 命题得证.

楼中楼有字数限制, 过程就写在这里了. 以A为圆心, √(AD*AC)为半径反演, 并关于∠BAC的平分线作轴反射, 则D↔C, B↔E. 设圆BDX的圆心为O_1, 圆CEX的圆心为O_2, 则△BDO_1(A)∽△CEO_2(A), ∠BAO_1=∠CAO_2, 所以圆BDX的像的圆心在AO_2上, 又因为圆BDX的像过C、E, 所以它的圆心为AO_2与CE的中垂线的交点, 也就是O_2, 从而两圆在这个变换下互换, 所以X↔T, 这样就证明了等角线.
不用反演也可以做, 但是需要用到完全四边形的等角线的性质, 以及XT经过BE与CD的交点Y(另外, XT过定点的性质在DE不平行于BC时仍然成立, 但是定点的刻画需要用到三次曲线).