二，两个逆向追溯公式
逆向递进追溯【起始奇数X_i】公式
X_i=(1/3)(2^k X-1),X=2t+1≥1,3|(2^k X-1)
逆向递进追溯【起始偶数X_j】公式
X_j=2^k X,X=2t+1≥1,k=1,2,3,⋯
两个参考实例
实例1：X=7，
X_i=(1/3)(2^k X-1)=1/3 (2^2*7-1)=9
X_j=2^k X=2^k*7=14,28,56,112,224,448,⋯
实例2：X=11，
X_i=(1/3)(2^k X-1)=1/3 (2^1*11-1)=7
X_j=2^k X_i=2^k*11=22,44,88,176,352,704,⋯
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三，若干引理
按照Collatz猜想的变换规则，以X_j=2^2m为【起始数】的变换，称为递降通道。
可以证明下列引理：
引理1：【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)，以T_m为起始数，则：3T_m+1=2^2m 一步到位，直接进入递降通道2^2m→2^(2m-1)→⋯→2^1→2^0。
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引理2：【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)，以偶数2^k T_m为起始数，则：经过k+1个步骤即可进入递降通道。
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引理3：【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)，3|m时，只存在依据T_m逆向递进追溯的【起始偶数】X_j=2^k T_m,k=1,2,3,⋯；不存在依据T_m逆向递进追溯的其它【起始奇数】
X_i=1/3(2^k T_m-1)
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引理4：【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)，m>0；存在最小值a，使得3|(2^a T_m-1)，推知：依据【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)，逆向递进追溯的【起始奇数】最小值是
X_o=(1/3)(2^a T_m-1), a=1 or 2 ;
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引理5：设(3,T_m )=1，依据【递降通道】入口节点T_m，逆向递进追溯的【起始奇数】X_i和【起始偶数】X_j，均有无穷多个值。
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引理6：存在无穷多个【递降通道】入口节点：
T_m=(1/3)(2^2m-1),m=1,2,3,⋯
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引理7：【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)，数列：
2^1 T_m-1,2^2 T_m-1,2^3 T_m-1,2^4 T_m-1,⋯,2^x T_m-1
各个项元素中，两个相邻的项元素，有且仅有一个是3的倍数。
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参考实例：
T_2=5: 9,19,39,79,159,319,639,1279,2559,⋯,2^x*5-1
T_4=85: 169,339,679,1359,2719,5439,10879,21759,⋯,2^x*85-1
T_5=341: 681,1363,2727,5455,10911,21823,436487 ,87295,⋯,2^x*341-1
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引理8：【递降通道】入口节点 T_m=(1/3)(2^2m-1)
（1）(3,T_m )=3，不存在依据T_m逆向递进追溯的【起始奇数】
X_i=(1/3)(2^x T_m-1)。
（2）(3,T_m )=1，依据T_m逆向递进追溯的【起始奇数】最小值是
X_o=(1/3)(2^1 T_m-1) 或者 X_o=(1/3)(2^2 T_m-1)
（3）依据T_m逆向递进追溯的【起始偶数】X_j=2^x T_m，最小值是X_j=2T_m；
（4）依据T_m逆向递进追溯的【起始数】没有最大值。
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引理9：任意起始数X，经过若干 Collatz变换，进入的【递降通道】2^2m 和入口节点T_m，是唯一的。
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引理10：不超过【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)的【起始数】X_i&X_j，经过若干变换，都可以进入入口节点数值不超过T_m的【递降通道】。
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引理11：【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)，【起始奇数】X_i=(1/3)(2^x T_m-1)，则X_i可按照关系式3X_i+1=2^x T_m，经过x+1次 转换为【递降通道】入口节点T_m；
参考实例：
T_m=5, X_i=(1/3)(2^x T_m-1)=1/3 (2^1*5-1)=3, x=1
3X_i+1 = 3*3+1→10→5
T_m=5, X_i = (1/3)(2^x T_m-1) = 1/3 (2^3*5-1) = 13, x=3
3X_i+1=3*13+1→40→20→10→5
T_m=5, X_i=(1/3)(2^x T_m-1) = 1/3 (2^5*5-1) = 53, x=5
3X_i+1 = 3*53+1→160→80→40→20→10→5
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四，两个推论表明Collatz猜想为真
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推论1：设【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)，若【起始数】
X≤[(1/3)(2^2 T_m-1)],
则X经过若干变换后，均可进入【入口节点】不超过 T_m的【递降通道】 。
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推论2：设【递降通道】入口节点T_m=(1/3)(2^2m-1)，自然数m趋于无穷，依据T_m逆向递进追溯的【起始数】X≤[(1/3)(2^2 T_m-1)] 趋于无穷。则依据所有【递降通道】入口节点T_m，逆向递进追溯的【起始数】X≤[(1/3)(2^2 T_m-1)]，可以覆盖的连续自然数趋于无穷。
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证明：由于T_(m+1)>2T_m，根据引理7,8,9,10，即知推论1&2为真。Collatz猜想为真。

五，两个参考实例
1，T_m=T_2=5,
X≤[(1/3)(2^2 T_m-1)]=X_i=[(1/3)(2^2*5-1)]=6, X=6,5,4,3,2,1
6→3→10→5→16→8→4→2→1,
起始数6的变换过程中，蕴含了起始数为5，4，3 ，2，1的变换。
实例验证表明：所有【起始数】X≤[(1/3)(2^2 T_2-1)]=[(1/3)(2^2*5-1)]=6，
经过若干步骤变换后，均可进入不超过入口节点T_2=(1/3)(2^4-1)=5的【递降通道】。
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2，T_m=T_4=85,
X≤[(1/3)(2^2 T_m-1)]=[(1/3)(2^2*85-1)]=113
X=113,112,111,110,109,108,107,106,⋯,85,⋯,21,⋯,5,⋯,1
113→340→170→85
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112→56→28→14→7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5
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111→334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1267→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232→4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5
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110→55→166→83→250→125→376→188→94→47→142→71
→214→107→322→161→484→242→121→364→182→91→274
→137→412→206→103→310→155→466→233→700→350
→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445
→1336→668→334→167→502→251→754→377→1132→566
→283→850→425→1276→638→319→958→479→1438→719
→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822
→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232→4616
→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976
→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53
→160→80→40→20→10→5
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86→43→130→65→196→98→49→148→74→37
→112→56→28→14→7→22→11→34→17→52→26→13
→40→20→10→5
实例验证可知：所有【起始数】满足下列条件
X≤[(1/3)(2^2 T_4-1)]=[1/3 (2^2*85-1)]=113
经过若干步骤变换后，均可进入不超过入口节点T_4=(1/3)(2^8-1)=85的【递降通道】。

【递降通道】入口节点T_m序列：T_m=(1/3)(2^2m -1)
T_1 = (1/3)(2^2m -1) = 1
T_2 = (1/3)(2^2m -1) = 5
T_3 = (1/3)(2^2m -1) = 21
T_4 = (1/3)(2^2m -1) = 85
T_5 = (1/3)(2^2m -1) = 341
T_6 = (1/3)(2^2m -1) = 1365
...
根据本贴第四款的推论1，能够确定：
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1，若【起始数】X ≤ [(1/3)*((2^2)T_m -1)] = 113，则X经过若干步骤的变换后，
可进入的【入口节点】 T_m ≤ T_4 = 85
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2，若【起始数】X ≤ [(1/3)*((2^2)T_m -1)] = 454，则X经过若干步骤的变换后，
可进入的【入口节点】 T_m ≤ T_5 = 341
.
3，若【起始数】X ≤ [(1/3)*((2^2)T_m -1)] = 1819，则X经过若干步骤的变换后，
可进入的【入口节点】 T_m ≤ T_6 = 1365

m=1，入口节点T_m = (1/3)[2^(2m) -1] = 1，
T_1 = 1 逆向追溯的最小起始数 X_io = (1/3) [(2^2)T_1 -1] = 1
显然：区间 (0,X_io)↔(0,1) 内不存在小于1的起始数X 。
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m=2，入口节点 T_m = (1/3)[2^(2m) -1] = 5，
T_2 = 5 逆向追溯的最小起始数 X_io = (1/3) [(2^1)T_2 -1] = 3
显然：区间 (0,X_io)↔(0,3) 内存在两个小于3的起始数X：1, 2 ;
根据逆向追溯公式，在区间(0,X_io)内，由入口节点 T_1 = 1 逆向追溯的起始数，可解方程
X_i = (1/3) [(2^x)(T_1) -1] = (2^x -1) / 3
X_j = (2^x‘)(T_1) = 2^x'
两个方程各有一解：X_i = 1, X_j = 2
可见：两个方程的解数 等于区间 (0,X_io) 内小于X_io的起始数X 。
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m=3，入口节点 T_m = (1/3)[2^(2m) -1] = 21，
T_3 = 21 逆向追溯的最小起始数 X_io 等于自身。因为3|21 。
显然：区间 (0,X_io)↔(0,21) 内存在小于21的起始数是X：1, 2, 3, ..., 20 ;
根据逆向追溯公式，在区间(0,X_io)内，由入口节点 T_1 = 1 和 T_2 = 5 逆向追溯的起始数，可解
节点方程
X_i = (1/3) [(2^x)(T_1) -1] = (2^x -1) / 3
X_j = (2^x‘)(T_1) = 2^x'
X_i = (1/3) [(2^x)(T_2) -1] = [(2^x)*5 -1] / 3
X_j = (2^x‘)(T_2) = (2^x')*5
四个节点方程的解分别是：
X_i = 1, 5; 3, 13
X_j = 2, 4, 8, 16; 10,20; 6,12;
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根据节点方程得到的解中，与3互质的解元素X_i=13，可继续建立
一级方程
(X_i)’ = (1/3) [(2^x)*13) -1] = [(2^x)*13 -1)] / 3
(X_j)' = (2^x‘)*13
解之得到小于21的起始数：(X_i)'=17
可见：各类方程的解数 等于区间 (0,X_io) 内小于X_io的起始数X ，这个结论运用【群、环】理论归纳证明，或许比较容易。

根据【各类方程的解数 等于区间 (0,X_io) 内小于X_io的起始数X 】，容易判断：
1，起始数X满足： 1 ≤ X < 3，经过若干3X+1变换，必然由下列入口节点：
T_1 = 1，进入【递降通道】。
2，起始数X满足： 3 ≤ X < 21，经过若干3X+1变换，必然由下列入口节点：
T_1 = 1，T_2 = 5
进入【递降通道】。
3，起始数X满足： 21 ≤ X < 85，经过若干3X+1变换，必然由下列入口节点：
T_1 = 1，T_2 = 5，T_3 = 21
进入【递降通道】。
4，起始数X满足： 85 ≤ X < 227，经过若干3X+1变换，必然由下列入口节点：
T_1 = 1，T_2 = 5，T_3 = 21，T_4 = 85
进入【递降通道】。
5，起始数X满足： 227 ≤ X < 1365，经过若干3X+1变换，必然由下列入口节点：
T_1 = 1，T_2 = 5，T_3 = 21，T_4 = 85，T_5 = 341
进入【递降通道】。
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如上类推，任意给定起始数X，均可判定 X 经过若干3X+1变换 进入【递降通道】的入口节点T_m。