n级偶数N_n： p_n^2<N_n<p_(n+1)^2
N_n∈{p_n^2+1,p_n^2+3,⋯,p_n^2+(2x+1),⋯,p_(n+1)^2-1}
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三，n级偶数区间(p_n^2,p_(n+1)^2 )的间隔长度D及完美数的性质
1，设 p_(n+1)-p_n=2m，则区间(p_n^2,p_(n+1)^2 )的间隔长度为
D=p_(n+1)^2-p_n^2=(p_n+2m)^2-p_n^2=4(p_n+1)m
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2，设：梅森素数 M_p=2^p-1，则 2^(p-1) (2^p-1)=2^(p-1) M_p 是完美数。
形如完美数两倍的偶数 2^p M_p，对应的1+1表示法的元素个数相对较少：
r_2 (496)=r_2 (992)=13
2^p (2^p-1)=(2^p-1)^2+(2^p-1)=(M_p )^2+M_p=2^p M_p
2^2 (2^2-1)=3^2+3=4×3=12
2^3 (2^3-1)=7^2+7=8×7=56
2^5 (2^5-1)=31^2+31=32×31=992
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四，区间(p_n^2,p_(n+1)^2 )内的偶数元素N_n的素因子结构特征
N_n=p_n^2+(2x+1)=(p_n^2+1)+2x=2^(j_0 ) p_(i_1)^(j_1 ) p_(i_2)^(j_2 )⋯; j_0>0
N_n=p_n^2+(2x+1)≤p_(n+1)^2-1
0≤x≤(p_(n+1)^2-p_n^2)/2-1=(p_(n+1)-p_n )(p_(n+1)+p_n )/2-1
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五，n级偶数N_n的1+1表示法的元素个数最小值r_2 (N_n )_o实验数据
r_2 (N_1 )_o=r_2 (6=2×3)=1
r_2 (N_2 )_o=r_2 (12=2^2×3)=2
r_2 (N_3 )_o=r_2 (38=2×19)=3
r_2 (N_4 )_o=r_2 (68=2^2×17)=4
r_2 (N_5 )_o=r_2 (128=2^7 )=6>5
r_2 (N_6 )_o=r_2 (188=2^2×47)=10>6
r_2 (N_7 )_o=r_2 (332=2^2×83)=12>7
r_2 (N_8 )_o=r_2 (398=2×199)=13>8
r_2 (N_9 )_o=r_2 (554=2×277)=21>9
r_2 (N_10 )_o=r_2 (878=2×439)=27>10
r_2 (N_11 )_o=r_2 (992=2^5×31)=26>11
r_2 (N_12 )_o=r_2 (1412=2^2×353)=36>12
r_2 (N_13 )_o=r_2 (1718=2×859)=41>13
r_2 (N_14 )_o=r_2 (1964=2^2×491)=52>14
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r_2 (N_n )≥n
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六，两个引理及推论

引理1：区间 (p_n^2,p_(n+1)^2 ) 内，至多有一个形如N=2^x的偶数。
证明：假设 p_n^2<2^x<p_(n+1)^2
D=p_(n+1)^2-p_n^2=(p_(n+1)-p_n )(p_n+p_(n+1) )=d(〖2p〗_n+d)
p_(n+1)^2=p_n^2+d(2p_n+d)
根据古斯和梅纳德相邻素数间隔最大值的相关结论
d=(p_(n+1)-p_n )≤p_n^(13/25)
p_(n+1)^2=p_n^2+d(2p_n+d)
=p_n^2+2p_n^(1+13/25)+p_n^(26/25)
=2p_n^2 (1/2+p_n^(13/25-1)+p_n^(26/25-2) )
运用【试值法】可知，p_n>7，
则 (1/2+p_n^(13/25-1)+p_n^(26/25-2) )<1，→2^(x+1)>2p_n^2>p_(n+1)^2
即：区间 (p_n^2,p_(n+1)^2 ) 内，至多有一个形如N=2^x的偶数。
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引理2：n>2，则同级偶数元素N_n的1+1表示法元素个数r_2 (N_n)最少的两种素因子结构类型是
N_n=2^m or N_n=2^m P
证明：根据双筛法，题设情形下，2^m<P，偶数N_n对应的筛元素不包含P；2^m>P，偶数N_n对应的筛元素包含P。区间(√(N_n ),N_n-√(N_n ))内，嵌套不超过N_n的相邻素数间隔最大值时，双筛法的筛函数（筛后剩余元素个数）r_2 (N_n)取得较小值。即可推知。
推论1：若1+1表示法个数最少的偶数元素形如N_n=2^m P，且 2^m>P时，或可使得
r_2 (N_n )_o≤r_2 (N_(n-1) )_o
证明：由n级偶数N_n对应的筛元素最大值是p_n，而n-1级偶数N_(n-1)对应的筛元素最大值是p_(n-1)，当N_n与N_(n-1)的差值较小时，N_n比N_(n-1)至少多一个对应的筛元素p_n，使得N_n对应的筛剩元素个数r_2 (N_n)相对于r_2 (N_(n-1))较少。或可导致不大于1的小幅波动。即知。
七，同级偶数N_n的1+1表示法个数最小值r_2 (N_n )_o
N_n=(p_n^2+1)+2x,0≤x<1/2 (p_(n+1)^2-p_n^2 ),n>1
根据双筛法，同级偶数N_n的1+1表示法元素个数r_2 (N_n)数学模型是
r_2 (N_n )≈N_n ∏_(√(N_n )>p|N_n)▒(1-1/p) ∏_(√(N_n )>q∤N_n)▒(1-2/q) +r_2 (√(N_n ))
=[(p_n^2+1)+2x] ∏_(√(N_n )>p|N_n)▒(1-1/p) ∏_(√(N_n )>q∤N_n)▒(1-2/q) +r_2 (√(N_n ))
p_i^2<∏_(2≤p≤p_i)▒p<p_(i+1)^2,p_n^2+1≤N_n≤p_(n+1)^2-1
1/2 ∏_(2<q≤p_n)▒〖(1-2/q)<〗 ∏_(√(N_n )>p|N_n)▒(1-1/p) ∏_(√(N_n )>q∤N_n)▒〖(1-2/q)<∏_(2≤p≤p_i)▒(1-1/p) ∏_(p_i<q≤p_n)▒(1-2/q) 〗
根据双筛法剩余元素的性质和分布规律，筛后剩余元素中或包含(N_n-1)&1两个元素，推知偶数N_n对应的1+1表示法元素个数的最小近似值r_2'(N_n )_o的数学模型是

r_2 (N_8 )_o-r_2 (N_7 )_o=12.13-10.65=1.48
客观真值实验数据
r_2 (N_5 )_o=r_2 (128=2^7 )=6>5
r_2 (N_6 )_o=r_2 (188=2^2×47)=10>6
r_2 (N_7 )_o=r_2 (332=2^2×83)=12>7
r_2 (N_8 )_o=r_2 (398=2×199)=13>8
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参考资料：
1 初等数论： 潘承洞，潘承彪著 1997.6 月 北京大学出版社
2 组合数学： 屈婉玲 著 1997.9 月 北京大学出版社
3 王元论哥德巴赫猜想 李文林著 1999.9 月 山东大学出版社
4 数学与猜想 G.玻利维亚 2001.7 月 科学出版社
5 数论导引 哈代 著 2008.10 月 人民邮电出版社
6 华罗庚文集 2010.5 月 科学出版社
7 代数数论 冯克勤 著 2000.7 月 科学出版社
8 双筛法的两种类型及其性质 2023,2 月 百度文库