微分是说局部可以近似成线性函数+高阶无穷小，重点是这个近似的存在性。导数是这个近似线性函数的系数。
一元函数的微分和导数可以说就是一种东西，可导和可微也是等价的；主要区别在于多元函数甚至多元映射。
多元线性函数（比如R²→R，f(x,y）=z)用一个系数当然表示不出来，所以得对每个变量各定义一个“导数”，即 偏导。但是自定义了每一个偏导依旧是不够的，你不能保证所有偏导联合起来能构成一个线性函数。（“可导但不可微”的例子书里已经写了）。
再就是复变函数f:C→C。这里我们用模代替绝对值，可以得到复数极限和复数的可微性，但你会发现（见“复变函数”这门课）此时可微（导）性非常稀有，可微是一个非常强的条件，必须满足某某方程才可微（导），而且一旦可微自动赠送任意阶可微性。

现在AI很发达的，很多东西都可以让AI解决

在多元函数里，可微意味有切平面，有偏导只意味在某个函数切片里有切线

微分是函数的变化量，也就是δy，导数是微分的斜率
一元函数这两个概念容易混淆，因为dy=f'(x)dx，可导等价于可微，但多元函数对每个自变量可导也不一定可微

中学阶段可以认为是一个东西

在 Frechet 导数的观点下，可微和可导没有区别

我反正到现在为止都觉得就是一个东西
多年前在民科吧因为说不出这俩差别被评价为“稍微讲点道理的民科”

我也不懂，我就理解成多元求偏导没法表示，微分就是写开了，知道是谁的导这么理解

一种常见的理解方式是, 函数f在某一点处利用线性变换进行近似, 这个线性变换本身叫做微分, 这个线性变换的矩阵(1维下退化成一个数) 叫做导数 .
然而这俩感觉很少区分了, 连北师大那套数学分析教材都开始把那个映射和其对应的矩阵统一叫做导数了.

我印象里，可微就是differentiable，换言之就是有f'这个东西。然后导数这东西可以是有方向导数，但是有方向导数不代表可微，不过可微一定可导。
可能是因为我接触英文更多，我感觉英文表达的更清晰，可微就是differentiable，其他的就一律是不可微，那就要把已知的说明白，比如偏导存在或者方向导数存在什么的，没有可导但是不可微这种表达

你可以理解为，导数（以及后来的偏导）是从自变量变化的角度考虑的：我这个x增加一点点，f会增加多少？
微分是为了线性近似f来考虑的。例如，f(x,y)的变化有哪些原因？我们可以写df = a dx + b dy。

导数是个数，微分是当△x→0时，△y的线性主部这个整体。

基本可以看做是一个东西的另一种形式，把导数看做分数就是微分

微分有dx