我们先设定小明的电阻为 R_1 ,每位朋友的电阻为 R ,总人数为 n ,则总电阻为 R_{\text{总}} = R_1 + (n-1)R 。
根据串联电路电流相等,有 I = \frac{U_{\text{总}}}{R_{\text{总}}} ,变形得 n = \frac{U_{\text{总}}}{IR} - \frac{R_1}{R} + 1 。
题目中默认所有人的电阻相同,即 R_1 = R ,因此公式简化为:
n = \frac{U_{\text{总}}}{IR}
(1)小明敏感,只能开到50mA
- 已知: U_{\text{总}} = 220\ \text{V} , I = 50\ \text{mA} = 0.05\ \text{A} ,出汗后电阻 R = 1\ \text{kΩ} = 1000\ \text{Ω}
- 代入公式:
n = \frac{220}{0.05 \times 1000} = \frac{220}{50} = 4.4
- 人数必须为整数,且需满足电流不超过50mA,故向上取整为 n = 5 。
- 结论:需要 5-1 = 4 名朋友串联。
(2)未出汗,开到30mA
- 已知: I = 30\ \text{mA} = 0.03\ \text{A} ,未出汗电阻 R = 100\ \text{kΩ} = 100000\ \text{Ω}
- 代入公式:
n = \frac{220}{0.03 \times 100000} = \frac{220}{3000} \approx 0.073
- 此结果小于1,说明仅小明一人时电流已远小于30mA,无需额外朋友。
- 结论:需要 0 名朋友串联。
(3)出汗,开到60mA
- 已知: I = 60\ \text{mA} = 0.06\ \text{A} ,出汗后电阻 R = 1\ \text{kΩ} = 1000\ \text{Ω}
- 代入公式:
n = \frac{220}{0.06 \times 1000} = \frac{220}{60} \approx 3.67
- 人数向上取整为 n = 4 。
- 结论:需要 4-1 = 3 名朋友串联。