------《莱布尼兹（交错级数）定理》证法一---------
   【笔者按】 莱布尼兹（交错级数）定理》是用筛法研究哥德巴赫问题的必用工具，我国数论先驱华、潘、王、陈，...等在命题{a,b}领域所取得的领先成果皆源于此定理及其推论。鉴于某些低端数论民科出于无知无‘畏’，公然谩骂之为“造假”，令人气愤。特以此贴警告之！
1.交错级数
    如果级数各项的符号一正一负交错地出现，这级数就称为交错级数。这种级数常常写作如下形式：
     ɑ1-ɑ2+ɑ3-ɑ4+…+(-1)^(n-1)ɑn+…,(ɑn＞0)   （1）
在一定条件下有判别法（常称为莱布尼兹法），可以判断其收敛**错级数的判别法   如果
     1) ɑn≥ɑn+1(n=1,2,…) ，2) lim ɑn=0 (n→∞）  
那么交错级数1）是收敛的；而且，用它前n项的部分和Sn作为级数和的近似值时误差不超过 ɑn+1。
   证 我们来看（1）的部分和Sn。先看偶数项的和S2n:
      S2n=(ɑ1-ɑ2)+(ɑ3-ɑ4)+…+(ɑ2n+1-ɑ2n)
由于条件1)，括号中都是正数（或至少是0），因此随着n增大时，S2n不降。另一方面，
      S2n=ɑ1-(ɑ2-ɑ3)-(ɑ4-ɑ5)-…-(ɑ2n-2-ɑ2n-1-1)-ɑ2n
各括号中都是非负数数，ɑ2n也＞0,因此S2n≤ɑ1.这就是说，{S2n}有上界。可见，limS2n(n→∞）是存在的，设
              lim S2n=S(n→+∞）=S
再来看奇数项的和S2n+1，这时，S2n+1=S2n+ɑ2n+1。又由2），所以
         limS2n+1=lim（S2n+ɑ2n+1）(n→+∞）  
        =limS2n =lim（S2n+1+ɑ2n+1）=S+0=0(n→+∞）  
    这样，不论S2n或S2n+1，当n→+∞时都已S为极限,也就是说,limS2n=S 。因此级数1）收敛。
    注意，由于0≤S2n≤ɑ1 ，而S2n→S,故0≤S2n≤ɑ1。即（1）的和是不超过其首项 的正数。
    现在来估计用Sn 代替S时产生的误差。因为
 
    S=ɑ1-ɑ2+ɑ3-ɑ4+…+(-1)^(n-1)ɑn+…+…+(-1))^n ɑn+1+…
     =Sn+(-1)^n ɑn+1+...
故  S-Sn=(-1)^n (ɑn+1-ɑn+2+ɑn+3-...)
     │S-Sn│=│ɑn+1-ɑn+2+ɑn+3-...│
右边绝对值记号中又是一个交错级数，他仍符合本判断法中的条件，因此它的和不超过其首项ɑn+1 的正数，这就是说:
         │S-Sn│≤ɑn+1       
法则得证。
    (自『数学分析（下）』武大数学系 1978 18页）
 
温馨提示这个定理是用解析数论大筛法研究命题A与命题{a,b}的切入点。随后我们要用到。有兴趣的网友可到新浪网老石的博客下载相关博文。