我看石头门也很久了，说一下个人浅见。首先本篇中的徽章并不是闭环，流传到后世的是桶子或者胸针另外制作的。鹅妈妈的循环实际上是过去已经消失的时间线的残影，通过时光机来回穿梭时间带来的信息，你可以理解为是上个时间线的dmail，当你听到这首歌的时候，事实上在胸针观测下世界已经是坍塌过了：）。然后，根据世界观来说，世界并没有主观意义上的“修正”，整个故事实际上都是有一定逻辑来左右走向的。

基本上来讲，鹅妈妈是死循环因为链条上涉及两次时间回溯。
如果不是死循环，仅是从未来的时间机器回溯，那么就有几个人必然不知道歌谣，与剧情矛盾。
但动画的逻辑，如果说成是死循环，就产生了bug了。所以也有另外一种解释方法。但不是单纯的从未来带到过去，而是有一套非常复杂的解释体系。
具体看我帖子sg0动画逻辑解读第三部分。

鹅妈妈谈不上是死循环，死循环的因果是没有起点和终点的，比如有个经典电影讲的我和我结婚生下了我，看完之后压根不知道主角的人生是从哪里开始的。而鹅妈妈的起点就是铃羽和篝穿越之前的世界线，真由理在未来学会了这首歌并教会了篝，篝随后跟铃羽穿越到新世界线，新的世界线里篝05年的时候把歌教给了冈伦，从而形成了篝→冈伦→妈妈→由季→铃羽→真由理→篝的新循环，而这个循环本身就是世界线修正的结果，主角们身为局中人所以搞不明白，而世界（还有我们观众）是很清楚这套循环的运行逻辑，不会形成悖论。另外就是这首歌即使是在新世界线里，肯定也是未来某个歌手创作的，所以不会产生“星奏歌从哪诞生”这样的悖论命题