这下知道错哪了，原来是比例系数抄反了。
为了书写方便，记椭圆为Γ，左焦点、右焦点分别记为E、F。
原则上，焦半径公式也是椭圆几何性质的一部分，写出来只是为了表述清晰。纯几何地定义一条圆锥曲线至少要用到两个参数，这里选择半长轴a和离心率e，希望最终结果只包含这两项。
我们熟知：
|AE|=(e*p)/(1-e*cosθ),
|BF|=(e*p)/(1+e*cosθ)
由于AE∥BF，我们有△PAE~△PFB，从而：
|PA|:|PF|=|PE|:|PB|
=|AE|:|FB|=(1+e*cosθ):(1-e*cosθ)
故：
|PF|=(1-e*cosθ)/2*(2*a-(e*p)/(1-e*cosθ))
=(1-e*cosθ)*a-(e*p)/2,
|PE|=(1+e*cosθ)/2*(2*a-(e*p)/(1+e*cosθ))
=(1+e*cosθ)*a-(e*p)/2
即有：
|PE|+|PF|=2*a-e*p=(1+e^2)*a=constant
之前图中是想画x^2/4+y^2/3=1这个经典椭圆作为示意，结果短半轴画成了1。感谢楼主指出我的错误，让我得以修正解答。
对于x^2/4+y^2=1这个椭圆，我们有a=2和e=√3/2，从而|PE|+|PF|=7/2，并不是a+1/a=5/2。这一点用ggb也可以验证。