由条件，这个函数在定义域内每一点有极值，也就是每一点都取极值，这说明这个函数是常函数。这样行吗

可导的充要条件就是左导右导相等，两个相乘要小与等于0的话只能等于0

能力有限，有什么不严谨的地方还望指正🙏🙏

可以用反证法：先假设它满足题干要求，最后得出它与假设矛盾，所以一定是

如果存在一个点不是常值，那么证明在这个点的邻域内的点不满足题设条件即可

下面是我的想法，感觉有点复杂。
连续性大家都讨论出来了，然后有介值定理。
取a小于b，若fa小于fb且其间没有其它函数值等于fa或fb的元素，则可以讨论出b左导数大于0，a右导数大于0。
然后类似讨论相邻的函数值为fb的元素以及可能存在的最大最小为fb的元素与无穷之间的元素，得到函数值都小于等于fb。类似得都大于等于fa。
然后取一个a到b之间函数值在fa到fb之间的元素，又可以重复讨论，得所有元素函数值既小于等于它又大于等于它。

x使得f'-(x)不等于f'+(x)的集合是可数的, 考虑到此时f(x)是某个以x为端点的开区间上的严格极值. 那么连续的f在除了可数个点上导数都是0, f为常数是个经典结论.

可能跟这个定理有关，函数在某点处增加或减少并不需要可微性，可以看看

在那一次性发不了这么多，这是关于那个δ邻域的，这个意思差不多就是这样的：
f(x)在[x1, x2]上连续，根据介值定理，对于任意c∈(f(x1), f(x2))，存在h∈(x1, x2)，使得f(h) = c
在h的左侧，由于f(x)<c，而f(h)=c，所以左导数f'(h-)≥0
在h的右侧，由于f(x)>c，而f(h)=c，所以右导数f'(h+)≤0
这和题干的条件矛盾，即f(x)一定是一个常值函数
避开了对这个δ邻域的问题，用介值定理，对任意一个f(x1)和f(x2)之间的值c进行分析，也就是对于每一个c，都能找到一个点h，使得f(h)=c，用h处的导数符号来判断。从整体上证明函数f(x)的单调性，就不需要依赖于局部了

题目里都没说左导数和右导数一定相等，导函数都不一定存在，但是常值函数的导函数是一定连续且等于0的，你这个真的能证明吗

超出数学分析的范围了，用实变的知识可以解答