求大佬回复

我不知道你想要理解什么。我觉得没必要追求做题之外的理解。
von Neumann 说在数学中我们并不理解那些数学事实，我们只是习惯了它们。
大部分人应该不会超过 von Neumann.

你说的问题我想可以通过做更多的极坐标下的题来训练解决。
比如某些运动的轨迹是对数螺线，你能否根据运动的几何特性列出微分方程并解出轨迹曲线。如果你能做出这样的题，那么你不需要再额外理解什么极坐标导数的几何意义。
重积分换元法确实是非常强大且难证明的，曲线坐标系 (Curvilinear coordinates) 的转换可以看成是其小小的应用，这里有一些相关的概念，例如 Lame coefficients.

教材上应该是有推导的，只不过可能没讲特别细致。本质上还是牛-莱公式。
在极坐标系下，考虑方程 r = r(t), 设此方程曲线与射线 θ = a 和 θ = t 所夹类似扇形的区域的面积为 F(θ), 这个区域实质上就是极坐标意义下的 “曲边梯形”.
假设 F 连续可微. 由牛-莱公式，F(t) = 从 a 到 b 对 F'(t) 的定积分. 下面考虑 F'(t).
按定义，F'(t) = lim(h→0) (F(t+h)-F(t))/h, 其中 F(t+h) - F(t) 就是你说的那个近似扇形的面积. 在 h→0 时, F(t+h) - F(t) = (1/2)·r^2(t)·h + o(h), 令 h→0 即得 F'(t) = (1/2)·r^2(t).
再用牛-莱公式积分即可.
要说本质，可能就是这个式子: F(t+h) - F(t) = (1/2)·r^2(t)·h + o(h), 它表明当对 θ 拆分足够细的时候，极坐标下的 “曲边梯形” 可以近似看作扇形，其误差在求和累计之后依然趋于 0.
类比于直角坐标系, 就是底边充分小的曲边梯形面积可以用矩形面积代替, 其误差在求和累计之后依然趋于 0.