2c*n±1素性转换猜想
从任何一个正整数n开始，以2c*n±1为递推函数构造一个单调递增数列，其中整系数c大于1。猜想递推函数2c*n±1的解析式明确之后，比如4n+1、4n-1等。此递归数列中存在无穷多个素数与合数。也就是说以合数n为起始值后面反复运算必能得到质数，以质数n为起始值后面反复运算也必能得到合数。
这个递推数列 a_{k+1} = 2c*a_k ±1 的通项公式为 a_k = ［(n ±1/（2c-1）］*(2c )^k-［±1/
(2c - 1)］。(k＝0，1，2……)
比如a=3且递推函数是6n-1。设初值n＝6，得递归数列｛6，35，209，1253，7517，45101，270605，1623629，9741773，……｝，这个数列的通项a_k＝（6-1/5）*6^k+1/5表示数列｛6，35……｝中第k+1项的值。
在上述初值n＝6的数列中前9项共出现7个合数与2个素数（第5项7517，第9项 9741773），相信后面必有无穷多个素数与合数。n＝1的情况更不必细说，下一项要么是素数要么是合数，从下一项素数起始运算若干次可得合数，反之亦然。如此反复转换直至无穷。
又如a=3且递推函数是6n+1。设初值n＝6，得递归数列｛6，37，223，1338，8029，48175， 289051，1734307， 10405843 ， 62435059 ，374610355……｝，这个数列的通项a_k＝（6+1/5）*6^k-1/5表示数列｛6，35……｝中第k+1项的值。前11出现37，223，62435059三个素数，素数占比高得令人惊讶。这主要是因为由递归函数2c*n±1决定的通项公式可以周期性产生素数，递归数列中的统计素数占比 P：a_k 是初值n的一个函数，它并不会随着项数的增加而趋向于0。
这个“2c*n±1素性转换猜想”是原“4n-1素性转换猜想”http://t.cn/AXyNYNCT的一个深刻推广，它探讨了对于任意大于1的整数系数 c，由递推关系 a_{k+1} = 2c*a_k ±1 生成的数列中，素数与合数是否必然无限交替出现。这是一个极具挑战性的数论问题，其证明或否证都触及素数分布理论的核心。猜想断言，无论初始值 n 是素数还是合数抑或者是1，也无论 c 取何整数值（只要大于1），该数列中都必定包含无穷多个素数项和无穷多个合数项，并且这两种状态会无限次地相互转换。
然而，其证明面临着根本性挑战：它要求精确刻画素数在一个确定性、快速增长的迭代序列中的出现规律，这超出了当前解析数论和组合数论主要工具的直接处理能力。其通项公式为分式，狄利克雷定理暂时不适合处理此序列的素性问题。还需要对狄利克雷定理进行拓展研究改造。它与寻找“素数公式”或理解素数在确定性序列中的分布一样，属于数论中极具挑战性的前沿问题。这个猜想的价值在于它提出了一个清晰、具体且可推广的模型，将素数分布的全局性问题与离散动力系统的轨道分析联系起来。无论最终被证明还是被证伪，对其探索都可能催生新的数学思想或工具。
从任何一个正整数n开始，以2c*n±1为递推函数构造一个单调递增数列，其中整系数c大于1。猜想递推函数2c*n±1的解析式明确之后，比如4n+1、4n-1等。此递归数列中存在无穷多个素数与合数。也就是说以合数n为起始值后面反复运算必能得到质数，以质数n为起始值后面反复运算也必能得到合数。
这个递推数列 a_{k+1} = 2c*a_k ±1 的通项公式为 a_k = ［(n ±1/（2c-1）］*(2c )^k-［±1/
(2c - 1)］。(k＝0，1，2……)
比如a=3且递推函数是6n-1。设初值n＝6，得递归数列｛6，35，209，1253，7517，45101，270605，1623629，9741773，……｝，这个数列的通项a_k＝（6-1/5）*6^k+1/5表示数列｛6，35……｝中第k+1项的值。
在上述初值n＝6的数列中前9项共出现7个合数与2个素数（第5项7517，第9项 9741773），相信后面必有无穷多个素数与合数。n＝1的情况更不必细说，下一项要么是素数要么是合数，从下一项素数起始运算若干次可得合数，反之亦然。如此反复转换直至无穷。
又如a=3且递推函数是6n+1。设初值n＝6，得递归数列｛6，37，223，1338，8029，48175， 289051，1734307， 10405843 ， 62435059 ，374610355……｝，这个数列的通项a_k＝（6+1/5）*6^k-1/5表示数列｛6，35……｝中第k+1项的值。前11出现37，223，62435059三个素数，素数占比高得令人惊讶。这主要是因为由递归函数2c*n±1决定的通项公式可以周期性产生素数，递归数列中的统计素数占比 P：a_k 是初值n的一个函数，它并不会随着项数的增加而趋向于0。
这个“2c*n±1素性转换猜想”是原“4n-1素性转换猜想”http://t.cn/AXyNYNCT的一个深刻推广，它探讨了对于任意大于1的整数系数 c，由递推关系 a_{k+1} = 2c*a_k ±1 生成的数列中，素数与合数是否必然无限交替出现。这是一个极具挑战性的数论问题，其证明或否证都触及素数分布理论的核心。猜想断言，无论初始值 n 是素数还是合数抑或者是1，也无论 c 取何整数值（只要大于1），该数列中都必定包含无穷多个素数项和无穷多个合数项，并且这两种状态会无限次地相互转换。
然而，其证明面临着根本性挑战：它要求精确刻画素数在一个确定性、快速增长的迭代序列中的出现规律，这超出了当前解析数论和组合数论主要工具的直接处理能力。其通项公式为分式，狄利克雷定理暂时不适合处理此序列的素性问题。还需要对狄利克雷定理进行拓展研究改造。它与寻找“素数公式”或理解素数在确定性序列中的分布一样，属于数论中极具挑战性的前沿问题。这个猜想的价值在于它提出了一个清晰、具体且可推广的模型，将素数分布的全局性问题与离散动力系统的轨道分析联系起来。无论最终被证明还是被证伪，对其探索都可能催生新的数学思想或工具。
