文恩图解检验三段论有效性时，卡罗尔定理是核心推理规则。首先介绍卡罗尔定理的图解和符号，然后简介一些文献资料。
1.二元图和三元图
有些S是P，当且仅当，有些S既是P也是M，或者有些S既是P也是非M。
没有S是P，当且仅当，没有S既是P也是M，而且没有S既是P也是非M。
尽管文字表述非常复杂，画出图形则一目了然。见图1：
图1.卡罗尔定理的二元图和三元图
有了图解，再列出它们的逻辑符号。首先使用AEIO符号里的E和I符号表示上述直言命题，而且采用前置式符号。这样的符号与上述图解一一对应，看起来更舒服一些。例如，Isp表示特称肯定命题“有些S是P”（常用符号为SIP），Esp表示全称否定命题“没有S是P”（即所有S都不是P，常用符号为SEP）。否定词项用单撇号表示 ，E命题和I命题是矛盾关系。另外图中逻辑符号也用了析取联结词、合取联结词、当且仅当的符号。
相同区域的白色棋子和黑色棋子，表示具有矛盾关系的两个命题。两个棋子之间有一条线段，表示析取命题(这个标记方法是皮尔士发明。卡罗尔的方法比较简便:一个棋子“骑在”二个区域分界线上)。两个棋子之间没有线段，表示合取命题。关于联结词的推理规则，另文介绍。
然后，使用谓词逻辑符号表示，我们就会豁然开朗，明白卡罗尔定理的本质。为了叙述简便，谓词符号仍然使用字母SPM；另外再使用否定联结词。文字表述如下：有些x，x既是S也是P，当且仅当，有些x，x既是S也是P也是M，或者有些x，x既是S也是P也是非M。并非“有些x，x既是S也是P”，当且仅当，并非“有些x，x既是S也是P也是M”，而且并非“有些x，x既是S也是P也是非M”。两组逻辑符号见图1。
如何应用该定理呢？前提推出三元图，三元图推出结论，都会用到它。例如，前提MAP，换质得MEP’，前置化符号为Emp’。根据卡罗尔定理，得Esmp’∧Es’mp’。因此在三元图里，很容易找到相应的区域，并放置白色棋子，完成推理。由三元图推出结论，也是类似的，只是方向相反。已知Ispm∨Ispm’，根据卡罗尔定理，可以推出Isp。Esp’,Esp’m...Isp’,Isp’m...等情况都可以应用该定理。
2.一元图和二元图
文字表达为：
有些事物是S，当且仅当，有些S是M，或者有些S是非M。
没有事物是S，当且仅当，没有S是M，而且没有S是非M。
图解、EI前置符号和谓词逻辑符号见图2.
图2.卡罗尔定理的一元图和二元图
3.论域图和一元图
有些事物是U，当且仅当，有些事物是S，或者有些事物是非S。
没有事物是U，当且仅当，没有事物是S，而且没有事物是非S。
“有些事物是U”意思是论域（U)不是空集。“没有事物是U”意思是论域（U)是空集。显然，人们都会假设论域不是空集，不会假设论域是空集（但是，对于直言命题里的词项，如果假设它们不是空集，将会引起一些麻烦。例如，对当方阵的矛盾关系不成立）。图3里方框表示论域，图1和图2则省略了方框。
图解、EI前置符号和谓词逻辑符号见图3.
图3.卡罗尔定理的论域图和一元图
卡罗尔定理主要是卡罗尔和皮尔士（C.S.Peirce,1839-1914）的贡献。卡罗尔《逻辑的游戏》（1886年）《符号逻辑》（1896年）明确使用了这套推理方法。前书里称为小图和大图（smaller diagram,larger diagram）；后书里称为二元图和三元图。皮尔士提出了添加封闭曲线和删除封闭曲线规则。有的学者也提出了连环增加规则和连环减少规则。详细介绍参见《符号逻辑》中译本的“导读”（刘易斯•卡罗尔著；闫文彤译.符号逻辑——棋盘上的三段论.黑龙江科学技术出版社，2025.6.）。
闫文彤
2025年12月
1.二元图和三元图
有些S是P，当且仅当，有些S既是P也是M，或者有些S既是P也是非M。
没有S是P，当且仅当，没有S既是P也是M，而且没有S既是P也是非M。
尽管文字表述非常复杂，画出图形则一目了然。见图1：
图1.卡罗尔定理的二元图和三元图
有了图解，再列出它们的逻辑符号。首先使用AEIO符号里的E和I符号表示上述直言命题，而且采用前置式符号。这样的符号与上述图解一一对应，看起来更舒服一些。例如，Isp表示特称肯定命题“有些S是P”（常用符号为SIP），Esp表示全称否定命题“没有S是P”（即所有S都不是P，常用符号为SEP）。否定词项用单撇号表示 ，E命题和I命题是矛盾关系。另外图中逻辑符号也用了析取联结词、合取联结词、当且仅当的符号。
相同区域的白色棋子和黑色棋子，表示具有矛盾关系的两个命题。两个棋子之间有一条线段，表示析取命题(这个标记方法是皮尔士发明。卡罗尔的方法比较简便:一个棋子“骑在”二个区域分界线上)。两个棋子之间没有线段，表示合取命题。关于联结词的推理规则，另文介绍。
然后，使用谓词逻辑符号表示，我们就会豁然开朗，明白卡罗尔定理的本质。为了叙述简便，谓词符号仍然使用字母SPM；另外再使用否定联结词。文字表述如下：有些x，x既是S也是P，当且仅当，有些x，x既是S也是P也是M，或者有些x，x既是S也是P也是非M。并非“有些x，x既是S也是P”，当且仅当，并非“有些x，x既是S也是P也是M”，而且并非“有些x，x既是S也是P也是非M”。两组逻辑符号见图1。
如何应用该定理呢？前提推出三元图，三元图推出结论，都会用到它。例如，前提MAP，换质得MEP’，前置化符号为Emp’。根据卡罗尔定理，得Esmp’∧Es’mp’。因此在三元图里，很容易找到相应的区域，并放置白色棋子，完成推理。由三元图推出结论，也是类似的，只是方向相反。已知Ispm∨Ispm’，根据卡罗尔定理，可以推出Isp。Esp’,Esp’m...Isp’,Isp’m...等情况都可以应用该定理。
2.一元图和二元图
文字表达为：
有些事物是S，当且仅当，有些S是M，或者有些S是非M。
没有事物是S，当且仅当，没有S是M，而且没有S是非M。
图解、EI前置符号和谓词逻辑符号见图2.
图2.卡罗尔定理的一元图和二元图
3.论域图和一元图
有些事物是U，当且仅当，有些事物是S，或者有些事物是非S。
没有事物是U，当且仅当，没有事物是S，而且没有事物是非S。
“有些事物是U”意思是论域（U)不是空集。“没有事物是U”意思是论域（U)是空集。显然，人们都会假设论域不是空集，不会假设论域是空集（但是，对于直言命题里的词项，如果假设它们不是空集，将会引起一些麻烦。例如，对当方阵的矛盾关系不成立）。图3里方框表示论域，图1和图2则省略了方框。
图解、EI前置符号和谓词逻辑符号见图3.
图3.卡罗尔定理的论域图和一元图
卡罗尔定理主要是卡罗尔和皮尔士（C.S.Peirce,1839-1914）的贡献。卡罗尔《逻辑的游戏》（1886年）《符号逻辑》（1896年）明确使用了这套推理方法。前书里称为小图和大图（smaller diagram,larger diagram）；后书里称为二元图和三元图。皮尔士提出了添加封闭曲线和删除封闭曲线规则。有的学者也提出了连环增加规则和连环减少规则。详细介绍参见《符号逻辑》中译本的“导读”（刘易斯•卡罗尔著；闫文彤译.符号逻辑——棋盘上的三段论.黑龙江科学技术出版社，2025.6.）。
闫文彤
2025年12月
