工程师老张在设计一个多核并行系统,由n个模块并联而成,每个模块的寿命独立同分布于参数为1的指数分布,只要有至少一个模块还在工作,整个系统就会继续工作。设第k个模块的寿命为随机变量Xₖ,整个n核系统的寿命为Yₙ,则:
(1)求Yₙ的分布函数;
(2)老张发现,他发明的n核并行系统总体寿命大概在ln(n)的级别,为了更精确地统计系统的运行情况,他发明了统计量Zₙ=Yₙ-ln n,求Zₙ的分布函数。
(3)老张好奇当他的并行模块数足够多、n→∞时系统的寿命情况。他令随机变量Z代表Zₙ在n→∞时的极限(提示:当分布函数连续时,一列随机变量的极限的分布函数相当于分布函数取极限),并认为这个Z是“真正可以代表多核系统的终极指标”。求Z的分布函数和密度函数。