合数猜想收集贴

@杨付民i5 @liuluojieys @载剑公爵 @解反三角函数 你们有没有合数猜想？

先来个脑筋急转弯

“合数猜想”这个术语本身并不是传统数学中的标准术语，通常地球的数学家们讨论的主要是质数相关的猜想。

正整数中，因数和是合数的，要比因数和是素数的多。（估计某个不大的数以后，就是这样了）

Ⅱ.1奇完美数
:完美数是指一个正整数，它所有的真约数之和是自身(约数不包括自身)，如6=1+23，6的真因子1,2,3目前仅发现偶完美数，是否存在奇完美数

Ⅱ.2费马数中是否存在无穷多合数
:费马数型如2^(2^n)+1的数，该数列是否有无数合数

可以提一些关于半素数的问题

Ⅱ.3liu的猜想:
关于最小素因子≤pₘ的连续合数的最大长度

民科吧转载
Ⅱ.4:一个n位质数总能改写为n+1个质数之和的形式吗？

Ⅱ.5:n^2内的连续合数长度是否小于n

来一个合数定理：如果两个互素的合数之和a+b＝c仍是合数，那么这三个合数两两互素。
证明：用反证法，首先可以确认，两个数互素意味着它们没有公共的质因数。我们先来分析 c（即 a+b）与 a 和 b 的关系。
c 与 a 的关系：由于 c = a + b，任何能同时整除 c 和 a 的数，也必然能整除它们的差 c - a = b。同理，任何能同时整除 c 和 b 的数，也必然能整除 c - b = a。
现在，我们假设存在一个质数 p，使得 p 能同时整除 a 和 c（即 p 是 a 和 c 的公因数）。根据上面的推理，p 也必然能整除 b。但是，这与我们已知的条件“a 和 b 互素”（即没有除了1以外的公因数）相矛盾。因此，我们的假设不成立。不存在能同时整除 a 和 c 的质数，也就是说，\gcd(a, c) = 1。
完全相同的逻辑可以应用到 b 和 c 上，从而得出 \gcd(b, c) = 1。
所以，从逻辑上推导，如果两个互素的合数 a 和 b 的和 c 是合数，那么 a, b, c 三者必然两两互素。

二元幂次和素数猜想：任何两个大于1且互素的正整数（一为奇一为偶）a、b的n次方和｛aⁿ+bⁿ｝的无穷数列（n＝1，2，3……）中至少有一个是素数，甚至还可能存在无穷多个素数。例如a＝16，b＝9时的n次方和数列｛25，337，72097，……｝中第二项337是素数。又如如a＝2，b＝13时的n次方和数列｛15，173，2205，……｝第二项173也是素数。

二元幂次和素数猜想：任何两个大于1且互素的正整数（一为奇一为偶）a、b的n次方和｛aⁿ+bⁿ｝的无穷数列（n＝1，2，4，8……）中至少有一个是素数，甚至还可能存在无穷多个素数。例如a＝16，b＝9时的n次方和数列｛25，337，72097，……｝中第二项337是素数。又如如a＝2，b＝13时的n次方和数列｛15，173，28577，……｝第二项173也是素数。
这个猜想与数论研究中的许多分支都有密切关系，它融合了素数分布、指数丢番图方程和二元二次型等多个经典课题。乐观地说，如果此猜想被证明成立，困扰数学界多年的一系列难题将迎刃而解。但目前看来要对这个猜想证实或者证伪却面临巨大挑战。其主要难点在于：
缺乏普适的理论工具：目前几乎没有工具能有效处理任意底数的指数和序列的素性。
大数分解的困难：当 n 很大时，a^n + b^n 的值会极其巨大，判断其是否为素数在计算上极具挑战性。
反例存在的风险：一个反例就足以否定猜想，而寻找反例（一个巨大的合数）在计算上可能比验证素数更困难。然而寻找这样一个反例a₀ⁿ+b₀ⁿ，要证明n是任何一个2的整幂数时a₀ⁿ+b₀ⁿ都是合数更是极其困难。友友们要不要试试？

Ⅱ.5.1:n^2内的连续合数长度是否恒大于n/2