独孤常数U₋ₙ＝3.4402369671232062488249…。即从《n幂级首位无理数》的数码均值极限中发现的一个常数U₋ₙ≈3.44。（以下只取3位有效数字）
对于非10整数幂的正整数n的幂级数，只取它们的首位数进行拼接，得到的无理数就是n幂级首位无理数。其数码均值的极限U₋ₙ≈3.44，因为这个数码均值U₋ₙ≈3.44在n幂级首位无理数数码均值极限中具备普适性，此外并无其它的极限存在，又因为孤独常数的名字己经被占用，在数学中它通常指克柏兰-尔杜斯常数（Copeland–Erdős constant），即是将十进制下的质数按顺序排列后，在最前面添加数字0所构成的无理数常数0.23571113……。 所以我称U₋ₙ为独孤常数是非常合适的，也是名副其实的。在现代汉语中，独孤是一个多义词，既可以用来描述人的孤独生活状态，也可以用来形容内心的情感体验。独孤一词的字面意思是独来独往，没有朋友也不需要依靠朋友，这非常契合独孤常数U₋ₙ在数论世界的状态。
比如5幂级首位无理数
→0.5216317319…前两位均值3.5，前四位均值3.5，前八位均值28/8=3.5，前9位均值29/9≈3.22，波动幅度不大，与理论值3.44接近。
为什么这个均值不是我们直觉上的 4.5，而是接近 3.44 呢？关键在于这些首位数并非等概率出现。
幂级数首位数服从本福特定律。
当 n 不是 10 的整数幂时，序列 \{ n^k \} 的数值会跨越多个数量级。这个序列的常用对数 log₁₀(n^k) 的小数部分在区间 [lbk]0, 1) 上是均匀分布的。一个数的首位数则由其科学计数法表示时的整数部分决定，这直接关联到其对数值的小数部分。因此，首位数 d 出现的概率为 P(d) = log₁₀(1 + 1/d)。这使得数字 1 出现的频率最高（约 30.1%），而数字 9 出现的频率最低（约 4.6%）。且数字0不出现，因为0不能够作为正整数的首位数。数字从1到9在0到9各数码的集合中出现概率的加权总和
D＝Σ d＝1→9 (log₁₀(1 + 1/d))*d。独孤常数U₋ₙ＝D等于45个超越数（有重复）的累加总和，这是一个确定的实数，也就是说n幂级首位无理数数码均值序列确实是收敛的。只是其收敛值——独孤常数U₋ₙ＝3.44……本身的前n位数的数码均值序列（不包括U₋ₙ整数部分3.）｛4，4，2.67，2.5，2.6，3.17，4，……｝是否收敛那就是另外一个故事了。
计算理论均值
通过计算，其数码平均值u约等于3.44。这就是由本·福特定律决定的、用幂级数拼接构造出来的n幂级首位无理数各位数码的理论均值极限。
需要注意的是，n幂级首位无理数中的各数码是n幂级无理数的一个子集，前者只取幂级数nᵃ的首位数进行拼接，数码均值U₋ₙ＝D约为3.44，而后者则是全数码拼接，数码均值为4.5。二者数码均值不同的原因主要是前者(子集)数码分布概率不均而后者(全集)数码分布概率均匀。其次是子集与全集都属无限集，无限集与有限集的性质是不同的。
n幂级首位无理数的意义与“混沌”无理数
通过这种方式构造出的n幂级首位无理数已经被证明是无理数。更有意思的是，它们的性质非常特殊。基于“循环节无穷嵌套”的有限循环特征非常有趣。这类无理数的小数点后面存在循环节，但却是有限长度循环，然后循环节字符串发生改变，之后进入新的有限长度循环。如此往复若干次循环以后，上述多个有限长度循环节又嵌套进入一个更大的循环系中。例如2幂级首位无理数0.2481361251248136125……。对于n幂级首位无理数来说，目前既不能轻易证明它们是超越数，也不能证明它们是代数数，无法明确归类。因此我曾经在另一篇博文中称其为 “混沌”无理数。
对于非10整数幂的正整数n的幂级数，只取它们的首位数进行拼接，得到的无理数就是n幂级首位无理数。其数码均值的极限U₋ₙ≈3.44，因为这个数码均值U₋ₙ≈3.44在n幂级首位无理数数码均值极限中具备普适性，此外并无其它的极限存在，又因为孤独常数的名字己经被占用，在数学中它通常指克柏兰-尔杜斯常数（Copeland–Erdős constant），即是将十进制下的质数按顺序排列后，在最前面添加数字0所构成的无理数常数0.23571113……。 所以我称U₋ₙ为独孤常数是非常合适的，也是名副其实的。在现代汉语中，独孤是一个多义词，既可以用来描述人的孤独生活状态，也可以用来形容内心的情感体验。独孤一词的字面意思是独来独往，没有朋友也不需要依靠朋友，这非常契合独孤常数U₋ₙ在数论世界的状态。
比如5幂级首位无理数
→0.5216317319…前两位均值3.5，前四位均值3.5，前八位均值28/8=3.5，前9位均值29/9≈3.22，波动幅度不大，与理论值3.44接近。
为什么这个均值不是我们直觉上的 4.5，而是接近 3.44 呢？关键在于这些首位数并非等概率出现。
幂级数首位数服从本福特定律。
当 n 不是 10 的整数幂时，序列 \{ n^k \} 的数值会跨越多个数量级。这个序列的常用对数 log₁₀(n^k) 的小数部分在区间 [lbk]0, 1) 上是均匀分布的。一个数的首位数则由其科学计数法表示时的整数部分决定，这直接关联到其对数值的小数部分。因此，首位数 d 出现的概率为 P(d) = log₁₀(1 + 1/d)。这使得数字 1 出现的频率最高（约 30.1%），而数字 9 出现的频率最低（约 4.6%）。且数字0不出现，因为0不能够作为正整数的首位数。数字从1到9在0到9各数码的集合中出现概率的加权总和
D＝Σ d＝1→9 (log₁₀(1 + 1/d))*d。独孤常数U₋ₙ＝D等于45个超越数（有重复）的累加总和，这是一个确定的实数，也就是说n幂级首位无理数数码均值序列确实是收敛的。只是其收敛值——独孤常数U₋ₙ＝3.44……本身的前n位数的数码均值序列（不包括U₋ₙ整数部分3.）｛4，4，2.67，2.5，2.6，3.17，4，……｝是否收敛那就是另外一个故事了。
计算理论均值
通过计算，其数码平均值u约等于3.44。这就是由本·福特定律决定的、用幂级数拼接构造出来的n幂级首位无理数各位数码的理论均值极限。
需要注意的是，n幂级首位无理数中的各数码是n幂级无理数的一个子集，前者只取幂级数nᵃ的首位数进行拼接，数码均值U₋ₙ＝D约为3.44，而后者则是全数码拼接，数码均值为4.5。二者数码均值不同的原因主要是前者(子集)数码分布概率不均而后者(全集)数码分布概率均匀。其次是子集与全集都属无限集，无限集与有限集的性质是不同的。
n幂级首位无理数的意义与“混沌”无理数
通过这种方式构造出的n幂级首位无理数已经被证明是无理数。更有意思的是，它们的性质非常特殊。基于“循环节无穷嵌套”的有限循环特征非常有趣。这类无理数的小数点后面存在循环节，但却是有限长度循环，然后循环节字符串发生改变，之后进入新的有限长度循环。如此往复若干次循环以后，上述多个有限长度循环节又嵌套进入一个更大的循环系中。例如2幂级首位无理数0.2481361251248136125……。对于n幂级首位无理数来说，目前既不能轻易证明它们是超越数，也不能证明它们是代数数，无法明确归类。因此我曾经在另一篇博文中称其为 “混沌”无理数。
