《天梯折线方程》的数学结构赏析与应用研究
方程解析式如下所示:
{1-sgn［y-int(y)］}*［y-int(y)］/sgn［sgn(1-x^2)+1］=sgn［y-int(y)］*(1-x^2)/sgn［sgn(y*5^40-y^2)+1］。
方程中用了两种离散函数，即符号函数sgn与向下取整函数int。方程中还包括两个分母，它们的作用是自动锁定坐标点(x,y)的取值范围。例如＝号右边分母锁定0≤y≤5^40（米）。把X轴视作地面，方程的图象就是一个立在地面头顶着天的梯子。当坐标点(x,y)在取值范围内时这几个分母均为1，否则分母至少有一个为0，方程无定义。忽略这些分母后，方程可以简化为：
{1-sgn［y-int(y)］}*［y-int(y)］=sgn［y-int(y)］*(1-x^2)。
当y为整数时，上式变为1*0＝0*(1-x^2)。得x为任何一个实数。图象是y＝0，1，2，3…无数间隔1并与x轴平行的线段。但这是忽略分母的结果，考虑到分母的限制，有-1≤x≤1，0≤y≤5^40。
当y为小数时，上式变为0*［y-int(y)］=1*(1-x^2)。得x＝±1。
在这个方程中，x和y并不具备一一对应的函数关系。它的图象是两条直线x=±1并与无数间隔为1的平行横线段左右端点连结，从而成为折线图形。整体看来就象一架顶天立地的竖梯子，所以我称其为“天梯折线方程”。它的表达式通过符号函数（sgn）的组合，构建了一个具有特定梯子状图形的隐函数方程式。这个符号函数 sgn(x)是构建整个天梯折线方程的基石：
当 x > 0 时，sgn(x) = 1
当 x = 0 时，sgn(x) = 0
当 x < 0 时，sgn(x) = -1
下面我们来一步步解析它。为了清晰地理解这个天梯折线方程，我们将其拆解为三部分：
①：{1-sgn［y-int(y)］}开关A和sgn［y-int(y)］开关B。前者为1开启时后者为0关闭，反之亦然。由于取整函数int(y)是不大于y的最大整数，则［y-int(y)］要么是0要么是一个正的纯小数。sgn［y-int(y)］开关B的取值范围就是0和1。1-sgn［y-int(y)］开关A的取值范围就是1和0。因为1-0＝1，1-1＝0。这就组成了一对反向的开关。当y为小数时开关B开启，当y为整数时开关A开启。
例如①式开关A.{1-sgn［y-int(y)］}当y为小数时关闭，=号右边为0。
②：{1-sgn［y-int(y)］}*［y-int(y)］/sgn［sgn(1-x^2)+1］=0。这是当y为整数时开关A为1开启的状态。方程的解为y＝int(y)。（x∈[lbk]-1,1[rbk]）
这部分图象为夹在x=±1之间的无数平行线段y=int(y)。(-1≤x≤1)，前一个分母/sgn［sgn(1-x^2)+1］不能为0决定了x的值域 -1≤x≤1。x超出值域时必有x^2＞1，sgn(1-x^2)=-1，得分母/sgn［sgn(1-x^2)+1］=0。
因为分母为0时方程未定义，因此图像天然限定x∈[lbk]-1,1[rbk]。从而自动锁定了x的取值范围，不再需要外加限制不等式条件成为实质上的方程组了。由此看来，原式=号两侧中的两个分母实际上也起到了开关的作用，它们在超出x和y的值域时关闭，不超出时开启。
③：0=sgn［y-int(y)］*(x^2-1)/sgn［sgn(y*5^40-y^2)+1］。这是y为小数时的情况。开关B→sgn［y-int(y)］＝1，开关A→1-sgn［y-int(y)］＝0。原方程再次简化为x^2＝1。解得x=±1。(y≠int(y))但应当注意的是，该表达式仅在x=±1时成立，且输出值恒为x的符号（1或-1）”。当y为整数时，开关sgn［y-int(y)］＝0是关闭的，对直线x＝±1的图象没有贡献。不过问题不大，这些格点（如点（±1,0）（±1,1）（±1,2）等等）正好被②式中的开关{1-sgn［y-int(y)］}＝0开启之后补上了哈。后一个分母不能为0，自动锁定了y的取值范围→ 0≤y≤5^40 （米）。
最后，定义完整的天梯方程f(x,y)＝0 ，它是以上两部分的合成连接②+③，即直线x=±1和一连串的平行线段y＝0，1，2，3…（-1≤ x ≤ 1，0≤y≤5^40）。因为开关A和开关B的实时开关状态是相反的，所以等式相加后，其图象也完全是两者的叠加。然后整理合并同类项，就得到了一个完整的天梯折线方程。
天梯的“天空”与“大地”
方程最精妙的设计在于对y取值范围的锁定：
分母的锁定作用：后一个分母 /sgn［sgn(y*5^40-y^2)+1］ 确保了方程仅在 0≤y≤5^40（米）的范围内有定义。
方程解析式如下所示:
{1-sgn［y-int(y)］}*［y-int(y)］/sgn［sgn(1-x^2)+1］=sgn［y-int(y)］*(1-x^2)/sgn［sgn(y*5^40-y^2)+1］。
方程中用了两种离散函数，即符号函数sgn与向下取整函数int。方程中还包括两个分母，它们的作用是自动锁定坐标点(x,y)的取值范围。例如＝号右边分母锁定0≤y≤5^40（米）。把X轴视作地面，方程的图象就是一个立在地面头顶着天的梯子。当坐标点(x,y)在取值范围内时这几个分母均为1，否则分母至少有一个为0，方程无定义。忽略这些分母后，方程可以简化为：
{1-sgn［y-int(y)］}*［y-int(y)］=sgn［y-int(y)］*(1-x^2)。
当y为整数时，上式变为1*0＝0*(1-x^2)。得x为任何一个实数。图象是y＝0，1，2，3…无数间隔1并与x轴平行的线段。但这是忽略分母的结果，考虑到分母的限制，有-1≤x≤1，0≤y≤5^40。
当y为小数时，上式变为0*［y-int(y)］=1*(1-x^2)。得x＝±1。
在这个方程中，x和y并不具备一一对应的函数关系。它的图象是两条直线x=±1并与无数间隔为1的平行横线段左右端点连结，从而成为折线图形。整体看来就象一架顶天立地的竖梯子，所以我称其为“天梯折线方程”。它的表达式通过符号函数（sgn）的组合，构建了一个具有特定梯子状图形的隐函数方程式。这个符号函数 sgn(x)是构建整个天梯折线方程的基石：
当 x > 0 时，sgn(x) = 1
当 x = 0 时，sgn(x) = 0
当 x < 0 时，sgn(x) = -1
下面我们来一步步解析它。为了清晰地理解这个天梯折线方程，我们将其拆解为三部分：
①：{1-sgn［y-int(y)］}开关A和sgn［y-int(y)］开关B。前者为1开启时后者为0关闭，反之亦然。由于取整函数int(y)是不大于y的最大整数，则［y-int(y)］要么是0要么是一个正的纯小数。sgn［y-int(y)］开关B的取值范围就是0和1。1-sgn［y-int(y)］开关A的取值范围就是1和0。因为1-0＝1，1-1＝0。这就组成了一对反向的开关。当y为小数时开关B开启，当y为整数时开关A开启。
例如①式开关A.{1-sgn［y-int(y)］}当y为小数时关闭，=号右边为0。
②：{1-sgn［y-int(y)］}*［y-int(y)］/sgn［sgn(1-x^2)+1］=0。这是当y为整数时开关A为1开启的状态。方程的解为y＝int(y)。（x∈[lbk]-1,1[rbk]）
这部分图象为夹在x=±1之间的无数平行线段y=int(y)。(-1≤x≤1)，前一个分母/sgn［sgn(1-x^2)+1］不能为0决定了x的值域 -1≤x≤1。x超出值域时必有x^2＞1，sgn(1-x^2)=-1，得分母/sgn［sgn(1-x^2)+1］=0。
因为分母为0时方程未定义，因此图像天然限定x∈[lbk]-1,1[rbk]。从而自动锁定了x的取值范围，不再需要外加限制不等式条件成为实质上的方程组了。由此看来，原式=号两侧中的两个分母实际上也起到了开关的作用，它们在超出x和y的值域时关闭，不超出时开启。
③：0=sgn［y-int(y)］*(x^2-1)/sgn［sgn(y*5^40-y^2)+1］。这是y为小数时的情况。开关B→sgn［y-int(y)］＝1，开关A→1-sgn［y-int(y)］＝0。原方程再次简化为x^2＝1。解得x=±1。(y≠int(y))但应当注意的是，该表达式仅在x=±1时成立，且输出值恒为x的符号（1或-1）”。当y为整数时，开关sgn［y-int(y)］＝0是关闭的，对直线x＝±1的图象没有贡献。不过问题不大，这些格点（如点（±1,0）（±1,1）（±1,2）等等）正好被②式中的开关{1-sgn［y-int(y)］}＝0开启之后补上了哈。后一个分母不能为0，自动锁定了y的取值范围→ 0≤y≤5^40 （米）。
最后，定义完整的天梯方程f(x,y)＝0 ，它是以上两部分的合成连接②+③，即直线x=±1和一连串的平行线段y＝0，1，2，3…（-1≤ x ≤ 1，0≤y≤5^40）。因为开关A和开关B的实时开关状态是相反的，所以等式相加后，其图象也完全是两者的叠加。然后整理合并同类项，就得到了一个完整的天梯折线方程。
天梯的“天空”与“大地”
方程最精妙的设计在于对y取值范围的锁定：
分母的锁定作用：后一个分母 /sgn［sgn(y*5^40-y^2)+1］ 确保了方程仅在 0≤y≤5^40（米）的范围内有定义。
