左轮手枪
今天遇到一个题目，当n为奇数的时候，cₙ=-（-2）^n，当n为偶数的时候，cₙ=-2，问前n项的和为多少？老师讲课的时候说需要分类讨论，我感到不屑，因为显然cₙ可以表示成1/2［-2-（-2）^n］+（-1）^n/2［-2+（-2）^n］的形式，要以这种形式直接求和，根本就不需要再分离讨论。 这时我想到了一个更加深入的问题，如果循环的周期不再是二，而是更大的数，又应该怎么办？这个时候很自然的，我们可以想到，用复数来解决问题。 假设循环的周期为k，根据经验，我们可以把aₙ写成［1×（……）+e^（2πni/k）×（……）+e^（4πni/k）×（……）+……+e^（2（k-1）πni/k）×（……）］的形式，这里的（……）是包含a₁，a₂，a₃，…… aₖ的多项式，这样写实收循环周期为二的时候的情况的启发。 假设j是一到k中的一个数，我们要做的就是保证当n÷k余j时，aⱼ的系数和等于一；当n÷k不余j时，aⱼ的系数和等于零。我们从第一个条件入手。 这并不难，当x÷k余j时，多项式前的系数必定是1，e^（2πji/k），e^（4πji/k）……e^（2（k-1）πji/k），（由欧拉公式得，系数只与n÷k的余数有关），我们只要让每个多项式中aⱼ的系数为1，e^（-2πji/k），e^（-4πji/k）……e^（-2（k-1）πji/k）即可 ，这样每个多项式里面都有一个aj，加起来再乘1/k，系数和就是一，满足要求。 我们再去证明我们这个时候构造的结果满足第二个条件，将所有的aj合并同类项，我们就能得到aj的系数和为1/k∑e^［2miπ（n-j）］，其中，m由0取到k- 1。要证明这个数在n不等于g的时候等于零，需要一些数列和几何知识。 ｛0，1，2，……，k-1｝是关于k的完全剩余系，把集合中每一个元素乘上2（n-j）之后仍然是关于k的完全剩余系，也就是说，在m由 1一直取到k- 1的过程中，得到的k个数，分别在除k，得到的余数与｛0，1，2，……，k-1｝中的数一一对应，也就是说，将这些复数像向量那样处理，首尾相连的相加，那么会有k个大小相同的向量，他们与实数轴的夹角分别是0，2π/k，4π/k，……，2（k-1）π/k，最终会得到一个正k边形，它的首尾刚好是同一个点，因此，最终加起来的结果也就是零了。因此，我们的构造是有效的，将它完整的写出来，就是如图的形式。我写这篇文章，题目叫做左轮手枪，是因为我觉得复数的相乘导致的在复平面上的旋转，恰如左轮手枪的弹夹，打一枪旋转一下，打一枪旋转一下，最终形成一个周期。
今天遇到一个题目，当n为奇数的时候，cₙ=-（-2）^n，当n为偶数的时候，cₙ=-2，问前n项的和为多少？老师讲课的时候说需要分类讨论，我感到不屑，因为显然cₙ可以表示成1/2［-2-（-2）^n］+（-1）^n/2［-2+（-2）^n］的形式，要以这种形式直接求和，根本就不需要再分离讨论。 这时我想到了一个更加深入的问题，如果循环的周期不再是二，而是更大的数，又应该怎么办？这个时候很自然的，我们可以想到，用复数来解决问题。 假设循环的周期为k，根据经验，我们可以把aₙ写成［1×（……）+e^（2πni/k）×（……）+e^（4πni/k）×（……）+……+e^（2（k-1）πni/k）×（……）］的形式，这里的（……）是包含a₁，a₂，a₃，…… aₖ的多项式，这样写实收循环周期为二的时候的情况的启发。 假设j是一到k中的一个数，我们要做的就是保证当n÷k余j时，aⱼ的系数和等于一；当n÷k不余j时，aⱼ的系数和等于零。我们从第一个条件入手。 这并不难，当x÷k余j时，多项式前的系数必定是1，e^（2πji/k），e^（4πji/k）……e^（2（k-1）πji/k），（由欧拉公式得，系数只与n÷k的余数有关），我们只要让每个多项式中aⱼ的系数为1，e^（-2πji/k），e^（-4πji/k）……e^（-2（k-1）πji/k）即可 ，这样每个多项式里面都有一个aj，加起来再乘1/k，系数和就是一，满足要求。 我们再去证明我们这个时候构造的结果满足第二个条件，将所有的aj合并同类项，我们就能得到aj的系数和为1/k∑e^［2miπ（n-j）］，其中，m由0取到k- 1。要证明这个数在n不等于g的时候等于零，需要一些数列和几何知识。 ｛0，1，2，……，k-1｝是关于k的完全剩余系，把集合中每一个元素乘上2（n-j）之后仍然是关于k的完全剩余系，也就是说，在m由 1一直取到k- 1的过程中，得到的k个数，分别在除k，得到的余数与｛0，1，2，……，k-1｝中的数一一对应，也就是说，将这些复数像向量那样处理，首尾相连的相加，那么会有k个大小相同的向量，他们与实数轴的夹角分别是0，2π/k，4π/k，……，2（k-1）π/k，最终会得到一个正k边形，它的首尾刚好是同一个点，因此，最终加起来的结果也就是零了。因此，我们的构造是有效的，将它完整的写出来，就是如图的形式。我写这篇文章，题目叫做左轮手枪，是因为我觉得复数的相乘导致的在复平面上的旋转，恰如左轮手枪的弹夹，打一枪旋转一下，打一枪旋转一下，最终形成一个周期。
