【n项幂和律】

自然数N的m(>1)次幂，是否能表示为n(>1)个自然数N_i的m次幂之和？
是一个耐人寻味且复杂的费马大定理的拓展问题。
设 m, n > 1；从最简单的【勾股数-平方和】说起：
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（1）n=2，平方和形式：(No)^2 = (N_1)^2 + (N_2)^2
显然上式成立的条件是：(No)^2 - (N_1)^2 是平方数。
据此推衍得到下列规律：令 No - N_1 = K > 0
No + N_1 = 2(N_1) + K = [(N_2)^2] / K
取不同的K值，可得到 N_1, N_2 的一系列解。
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（2）n=3，存在【三平方和】形式
(No)^2 = (N_1)^2 + (N_2)^2 + (N_3)^2
显然上式等价于【两个数的平方和】等于【两个数的平方差】
(No)^2 - (N_1)^2 = (N_2)^2 + (N_3)^2
据此推衍得到下列规律：令 No - N_1 = K > 0
No + N_1 = 2(N_1) + K = [(N_2)^2 + (N_3)^2] / K
取不同的K值，可得到 N_1, N_2 , N_3 的一系列解。
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（3）一般的，n>3，存在【n项平方和】形式
(No)^2 = (N_1)^2 + (N_2)^2 + (N_3)^2 + ... + (N_n)^2
显然上式等价于【两个数的平方差】等于【(n-1)个数的平方和】
(No)^2 - (N_1)^2 = (N_2)^2 + (N_3)^2 + ... + (N_n)^2
据此推衍得到下列规律：令 No - N_1 = K > 0
No + N_1 = 2(N_1) + K = [(N_2)^2 + (N_3)^2 + ... + (N_n)^2] / K
取不同的K值，可得到 N_1, N_2, ..., N_n 的一系列解。
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问题是：对于任意的 n>3，【n项平方和】是否总有解？

特邀@载剑公爵: 根据勒让德三平方和定理，证明下面的命题。
命题1：奇数n>5，n^2都可以表示为三个数的平方和。

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n个数大于0吗？如果大于0，n=4，9就不能表示

明确回顾勒让德三平方和定理：正整数 N能表示为三个整数的平方和（即存在整数 a,b,c 使N=a ^2+b^2+c ^2），当且仅当 N不能写成 4 ^k (8m+7)（k,m 为非负整数）。
因 n是奇数且 n>5，可设 n=2t+1（t为整数）。
由 n>5 得 2t+1>5，解得 t≥3。
计算 n^ 2：n ^2 =(2t+1) 2=4t 2 +4t+1=4t(t+1)+1。
由于 t与 t+1 是连续整数，必有一个是偶数，故 t(t+1)=2s（s 为整数）。代入上式得 n ^2=4×2s+1=8s+1，即 n ^2 ≡1(mod8)。
以下分析排斥形式数，即4 ^k(8m+7) 的模 8 特性：
1.当k=0时，形式为 8m+7，模 8 余 7；
2.当k≥1时，4 ^k ≡0 或 4(mod8)，乘以 8m+7 后，模 8 仍为 0 或 4。
可见 4 ^k (8m+7) 模 8 不可能为 1，而 n ^2=8s+1 模 8 为 1，故 n ^2 不能表示为 4 ^k (8m+7)。
由勒让德三平方和定理，n^2满足能表为三个数平方和的充要条件，因此 n ^2可表示为三个数的平方和。口

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