10377 多重四点共圆

令△ABC外接圆为单位圆
A=Z1;B=Z2;C=Z3;O=1;
另设
过OA的圆的圆心（蓝色线）
BL =Z1/2 - x*((Z1*1i)/2 - 1i/2) + 1/2
过OC的圆的圆心（黄色线）
YE =Z3/2 - y*((Z3*1i)/2 - 1i/2) + 1/2
过OB的圆的圆心（虚线）
XU =Z2/2 - z*((Z2*1i)/2 - 1i/2) + 1/2
则计算可得
D =Z2/2 - z*((Z2*1i)/2 - 1i/2) - (Z3*(1 + z*1i)*(Z2 - 1)*(Z2/2 - Z3/2 + y*((Z3*1i)/2 - 1i/2) - z*((Z2*1i)/2 - 1i/2)))/(Z2 - Z3 + Z2*y*1i - Z3*z*1i - Z2*Z3*y*1i + Z2*Z3*z*1i) + 1/2
F =Z2/2 - z*((Z2*1i)/2 - 1i/2) - (Z1*(1 + z*1i)*(Z2 - 1)*(Z1/2 - Z2/2 - x*((Z1*1i)/2 - 1i/2) + z*((Z2*1i)/2 - 1i/2)))/(Z1 - Z2 - Z2*x*1i + Z1*z*1i + Z1*Z2*x*1i - Z1*Z2*z*1i) + 1/2
E =Z3/2 - y*((Z3*1i)/2 - 1i/2) - (Z1*(1 + y*1i)*(Z3 - 1)*(Z1/2 - Z3/2 - x*((Z1*1i)/2 - 1i/2) + y*((Z3*1i)/2 - 1i/2)))/(Z1 - Z3 - Z3*x*1i + Z1*y*1i + Z1*Z3*x*1i - Z1*Z3*y*1i) + 1/2
代入公式公式计算可得
AB/BC*CD/DE*EF/FA=1

简易叙述版：
已知：○(ABC)○(CDE)○(EFA)○(BDF)四圆共点，求证：○(FAB)○(BCD)○(DEF)○(ACE)四圆共点，
且AB·CD·EF=FA·BC·DE.

即完美六边形定义（我其实没研究过但是好像这张图真的是这样...）

相关命题

这不就是梅涅劳斯定理的反演命题吗，直接反演就行了，第二图给一个莫比乌斯变换法。

还是把反演的图画一下吧

6楼题目也用莫比乌斯变换给一个解答