1基本概念
同学们好
今天我们讲第九章微分方程
我们首先来看第九章的第一节
微分方程的基本概念
那什么是微分方程呢
它是包含自变量
未知函数
以及未知函数的导数或者微分的等式
我们把它称为微分方程
这个里面需要强调的是
这个方程里面
一定要含有未知函数的导数
或者是微分
未知函数是一元函数的微分方程
我们把它称为常微分方程
未知函数是多元函数的微分方程
我们把它称为偏微分方程
比如呢 y' = x²
y'' = g
y⁽⁴⁾ - 4y''' + 10y'' - 12y' + 5y = 0
那这三个方程呢
都是常微分方程里面的未知函数呢
都是一元函数
而下面的这两个方程呢
是二元函数满足的方程
以及呢三元函数满足的微分方程
那这两个方程呢
是偏微分方程
我们第9章呢
介绍的是常微分方程的求解问题
在一个微分方程中
出现的未知函数导数的最高阶数
我们把它称为微分方程的阶
对一阶微分方程来讲呢
它的一般形式我们表示出来的是
F(x, y, y') = 0
或者说呢
写出它的显式形式
y' = f(x, y)
对于高阶微分方程
那我们把它表示成呢
F(x, y, y', …, y⁽ⁿ⁾) = 0 或者
说呢我们也可以写出它的显式形式
y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾)
如果方程呢
F(x, y, y', …, y⁽ⁿ⁾) = 0
那这个方程的左端呢
是 y
以及 y 的各阶导数的一次有理整式
我们把它称为是 n 阶线性微分方程
比如呢 y' = 2x
x dy - y dx = 0 那这两个方程呢
是一阶线性微分方程
x⁽⁴⁾ + 5x'' + 3x = sin t
而这个方程呢
是一个四阶的线性微分方程
这个方程里面呢
出现的是 x 对 t 的四阶导数
以及呢 x 对 t 的二阶导数以及 x
它的一次有理整式
不是线性方程的方程
我们把它称为非线性方程
比如呢 x'' + t x (x')³ + x = 0
那这个方程里面呢
出现了 x 对 t 的一阶导数的三次方
不是一次有理整式
这个方程是一个非线性方程
那我们同样的呢
可以得到 n 阶线性微分方程的
它的一般形式
n 阶线性微分方程的一般形式是
y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y⁽ⁿ⁻¹⁾ + … + aₙ(x) y = f(x)
这个里面呢
各阶导数的系数 a₁(x) 一直到 aₙ(x) 以及呢
它的右端项 f(x) 都是 x 的函数
代入微分方程
能够使方程呢成为恒等式的函数
称为微分方程的解
那我们首先呢来看一下通解
通解呢就是包含任意常数
并且呢方程里面所含的
独立的任意常数的个数
与方程的阶数呢相同的解
那这个呢称为是微分方程的通解
在这里面需要说明的呢
独立的任意常数是指呢
它们不能通过合并
而使得通解中的任意常数的个数呢
减少而通解的意义呢
就是
当其中的任意常数取遍所有实数时
可以得到微分方程的所有解
当然呢
这个里面呢就是最多有个别是例外的
也就是呢
最多有有限个解
不包含到这个通解里面去
特解不包含任意常数的解
称为微分方程的特解
那在这里面呢我们需要说明呢
通解呢是一组微分方程解的曲线
也就是构成了解曲线族
微分方程解的图形
称为微分方程的积分曲线
也就是说呢
解曲线亦称为积分曲线
用来确定通解中任意常数的取值
从而得到特解的条件
我们把它称为定解条件
反映初始状态的条件称为初始条件
比如呢 y(x₀) = y₀
y'(x₀) = y₁
这个里面呢
x₀ 呢是初始点
而 y₀ 以及 y₁ 呢
它们所对应的值称为初始值
求带有初始条件微分方程的解的问题
我们把它称为初值问题
那我们说呢
给出不同的定解条件产生不同的问题
那这一章呢
我们讨论了常微分方程的
它的初值问题
那对一阶微分方程的初值问题
那它的解呢
其实表示的是过定点的积分曲线
对于二阶微分方程的初值问题
那它表示的是过定点
并且呢在定点的切线的斜率
为定值的积分曲线
那我们来看一下
例一验证函数 y = c e⁻³ˣ + e⁻²ˣ
是方程 y' + 3y = e⁻²ˣ 的
它的通解
并且呢
我们要求满足初始条件 y(0) = 0 的特解
要验证函数呢是方程的通解
我们需要呢验证两个方面
第一个呢我们要验证函数是方程的解
第二个呢
我们需要验证的
函数里面的
所含的独立的任意常数的个数呢
要等于方程的阶数
我们首先呢
来看一下函数是不是方程的解
那所以呢
我们对这个函数呢
y = c e⁻³ˣ + e⁻²ˣ 呢
求导我们可以得到呢
它的一阶导数
y' = -3c e⁻³ˣ - 2e⁻²ˣ
那这样的话呢
我们就可以呢
把 y 以及呢
y 的一阶导数带到这个方程里面去呢
我们来验证一下
它呢是不是成立那根
据这个 y 以及呢 y 的一阶导数
我们带到这个式子里面去呢
我们很容易把它做一个整理
整理出来之后呢
得出来是 e⁻²ˣ
那很明显等于这个方程的右端项
那这个的话呢我们就说明呢
那这个函数就是方程的它的解
另外一个呢
这个方程本身它是一个一阶方程
而这个函数呢里面呢
只含有一个任意常数
那就说明呢
这个函数那就是方程的它的通解
另外一个呢就是我们要求它的特解
那这个时候呢
我们需要用一下它的初始条件
那根据初始条件呢
当 x 等于 0 的时候呢
y(0) = 0 那我们可以呢得到任意常数 c
这样的话呢
我们就可以得到呢它的一个特解
例二呢
求曲线组 c x² + y² = 1
它所满足的微分方程
那我们要找呢它所满足的微分方程
实际上也就是呢
我们要找一个微分方程
这个方程呢
是以 c x² + y² = 1 呢
为通解那所以我们在求的时候呢
我们得到的这个方程
应该是一阶微分方程
因为呢这个曲线组里面呢
所含的常数也就是呢
任意常数的个数呢是等于一
那这样的话呢
我们就可以呢
对已知的这个函数两边的对 x 求导
那通过求导呢
我们得到呢 y 的一阶导数
满足的一个关系式
但是这个式子里面因为含有任意常数
所以呢
我们需要把这两个方程呢联立把
任意常数 c 呢消掉
那所以呢
我们就可以呢
根据已知的这个曲线组
所对应的函数呢
把任意常数 c 呢求出来
然后呢带到上面的这个方程里面去
那我们就可以呢把 c 消掉
得到了 y 以及呢 y 的一阶导数
以及自变量 x 满足的一个等式
那我们把它呢做一个整理之后
那我们就可以得到呢
我们想要求到的这个微分方程
同学们好
今天我们讲第九章微分方程
我们首先来看第九章的第一节
微分方程的基本概念
那什么是微分方程呢
它是包含自变量
未知函数
以及未知函数的导数或者微分的等式
我们把它称为微分方程
这个里面需要强调的是
这个方程里面
一定要含有未知函数的导数
或者是微分
未知函数是一元函数的微分方程
我们把它称为常微分方程
未知函数是多元函数的微分方程
我们把它称为偏微分方程
比如呢 y' = x²
y'' = g
y⁽⁴⁾ - 4y''' + 10y'' - 12y' + 5y = 0
那这三个方程呢
都是常微分方程里面的未知函数呢
都是一元函数
而下面的这两个方程呢
是二元函数满足的方程
以及呢三元函数满足的微分方程
那这两个方程呢
是偏微分方程
我们第9章呢
介绍的是常微分方程的求解问题
在一个微分方程中
出现的未知函数导数的最高阶数
我们把它称为微分方程的阶
对一阶微分方程来讲呢
它的一般形式我们表示出来的是
F(x, y, y') = 0
或者说呢
写出它的显式形式
y' = f(x, y)
对于高阶微分方程
那我们把它表示成呢
F(x, y, y', …, y⁽ⁿ⁾) = 0 或者
说呢我们也可以写出它的显式形式
y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾)
如果方程呢
F(x, y, y', …, y⁽ⁿ⁾) = 0
那这个方程的左端呢
是 y
以及 y 的各阶导数的一次有理整式
我们把它称为是 n 阶线性微分方程
比如呢 y' = 2x
x dy - y dx = 0 那这两个方程呢
是一阶线性微分方程
x⁽⁴⁾ + 5x'' + 3x = sin t
而这个方程呢
是一个四阶的线性微分方程
这个方程里面呢
出现的是 x 对 t 的四阶导数
以及呢 x 对 t 的二阶导数以及 x
它的一次有理整式
不是线性方程的方程
我们把它称为非线性方程
比如呢 x'' + t x (x')³ + x = 0
那这个方程里面呢
出现了 x 对 t 的一阶导数的三次方
不是一次有理整式
这个方程是一个非线性方程
那我们同样的呢
可以得到 n 阶线性微分方程的
它的一般形式
n 阶线性微分方程的一般形式是
y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y⁽ⁿ⁻¹⁾ + … + aₙ(x) y = f(x)
这个里面呢
各阶导数的系数 a₁(x) 一直到 aₙ(x) 以及呢
它的右端项 f(x) 都是 x 的函数
代入微分方程
能够使方程呢成为恒等式的函数
称为微分方程的解
那我们首先呢来看一下通解
通解呢就是包含任意常数
并且呢方程里面所含的
独立的任意常数的个数
与方程的阶数呢相同的解
那这个呢称为是微分方程的通解
在这里面需要说明的呢
独立的任意常数是指呢
它们不能通过合并
而使得通解中的任意常数的个数呢
减少而通解的意义呢
就是
当其中的任意常数取遍所有实数时
可以得到微分方程的所有解
当然呢
这个里面呢就是最多有个别是例外的
也就是呢
最多有有限个解
不包含到这个通解里面去
特解不包含任意常数的解
称为微分方程的特解
那在这里面呢我们需要说明呢
通解呢是一组微分方程解的曲线
也就是构成了解曲线族
微分方程解的图形
称为微分方程的积分曲线
也就是说呢
解曲线亦称为积分曲线
用来确定通解中任意常数的取值
从而得到特解的条件
我们把它称为定解条件
反映初始状态的条件称为初始条件
比如呢 y(x₀) = y₀
y'(x₀) = y₁
这个里面呢
x₀ 呢是初始点
而 y₀ 以及 y₁ 呢
它们所对应的值称为初始值
求带有初始条件微分方程的解的问题
我们把它称为初值问题
那我们说呢
给出不同的定解条件产生不同的问题
那这一章呢
我们讨论了常微分方程的
它的初值问题
那对一阶微分方程的初值问题
那它的解呢
其实表示的是过定点的积分曲线
对于二阶微分方程的初值问题
那它表示的是过定点
并且呢在定点的切线的斜率
为定值的积分曲线
那我们来看一下
例一验证函数 y = c e⁻³ˣ + e⁻²ˣ
是方程 y' + 3y = e⁻²ˣ 的
它的通解
并且呢
我们要求满足初始条件 y(0) = 0 的特解
要验证函数呢是方程的通解
我们需要呢验证两个方面
第一个呢我们要验证函数是方程的解
第二个呢
我们需要验证的
函数里面的
所含的独立的任意常数的个数呢
要等于方程的阶数
我们首先呢
来看一下函数是不是方程的解
那所以呢
我们对这个函数呢
y = c e⁻³ˣ + e⁻²ˣ 呢
求导我们可以得到呢
它的一阶导数
y' = -3c e⁻³ˣ - 2e⁻²ˣ
那这样的话呢
我们就可以呢
把 y 以及呢
y 的一阶导数带到这个方程里面去呢
我们来验证一下
它呢是不是成立那根
据这个 y 以及呢 y 的一阶导数
我们带到这个式子里面去呢
我们很容易把它做一个整理
整理出来之后呢
得出来是 e⁻²ˣ
那很明显等于这个方程的右端项
那这个的话呢我们就说明呢
那这个函数就是方程的它的解
另外一个呢
这个方程本身它是一个一阶方程
而这个函数呢里面呢
只含有一个任意常数
那就说明呢
这个函数那就是方程的它的通解
另外一个呢就是我们要求它的特解
那这个时候呢
我们需要用一下它的初始条件
那根据初始条件呢
当 x 等于 0 的时候呢
y(0) = 0 那我们可以呢得到任意常数 c
这样的话呢
我们就可以得到呢它的一个特解
例二呢
求曲线组 c x² + y² = 1
它所满足的微分方程
那我们要找呢它所满足的微分方程
实际上也就是呢
我们要找一个微分方程
这个方程呢
是以 c x² + y² = 1 呢
为通解那所以我们在求的时候呢
我们得到的这个方程
应该是一阶微分方程
因为呢这个曲线组里面呢
所含的常数也就是呢
任意常数的个数呢是等于一
那这样的话呢
我们就可以呢
对已知的这个函数两边的对 x 求导
那通过求导呢
我们得到呢 y 的一阶导数
满足的一个关系式
但是这个式子里面因为含有任意常数
所以呢
我们需要把这两个方程呢联立把
任意常数 c 呢消掉
那所以呢
我们就可以呢
根据已知的这个曲线组
所对应的函数呢
把任意常数 c 呢求出来
然后呢带到上面的这个方程里面去
那我们就可以呢把 c 消掉
得到了 y 以及呢 y 的一阶导数
以及自变量 x 满足的一个等式
那我们把它呢做一个整理之后
那我们就可以得到呢
我们想要求到的这个微分方程
