三元一次不定方程专题科普一下

重新做一下
33x+37y+41z=2025，求非负整数解个数？x=-m-4（mod37），y=2m+4（mod33）则m=15时有最小解，x=18，y=1，则R=-320520，f（2025）=40
特此更正！

x+y+z=n，求z△（x~y~z）个数？
解：令x=b+c-0U1，y=a+c-0U1，z=a+b-0U1
则f（n）=（n-2）（n-4）/8U（n+1）（n-1）/8

33x+37y+41z=202541非负整数解个数
R=-24466，f（202541）=409953
通解是
x=-m+9（mod37）
y=2m-8（mod33）
z=4940-m，m=0~4940，m的个数k=4941
当m=4时，有最小解（非负整数）
x=5，y=0，k=4937

这不是奥数，不是奥林匹克数学题，至少百年才可普及中小学试算

8楼要给出最难的三元一次方程通解，也就是标准答案！

2025x+1016y+825z=2025424的通解
是两个解答式共存！其一
x=387m+1281-1841t
y=-600m-286+2850t
z=-211m-337+1009t，
其二常数项都为正

8楼的重要条件是x，y，z是整边三角形，确实必须两个结果共存

再叙述一下另一类组成三角形边的三元一次不定方程解法
如求ax+by+cz=n，N△（ax~by~cz）的解数！
例2025x+1026y+906z=202544，求
2025x~1026y~906z是三角形的整边长时有多少组

依10楼调整
求2025x+1026y+906z=202545
满足条件2025x~1026y~906z是整边三角形

12楼是好问题，
先给出通解，x=38m+69-103t，y=40m+14+41t，z=15318-7m
则令m=0，t=0时，有Min（x，y，z）=15401

一般的三元一次不定方程求非负整数解的计数，
先给出通解式，再由求整不等式找到所求的基础解，由某元自然递归项k及最小值，此时进入求和及求解数据R，致使
ax+by+cz=n，（a，b，c）≡1时，其计数组
f（n）=（n（n+a+b+c）+R）/（2a*b*c）
例371x+451y+1024z=202511，非负整数解个数
①通解，②不等式求解找出当m=7时，有关于z自然递归时计数k和最小解x=19，y=2，k=191
③求和∑i（k，k=1～191）=156+156*2*58+763*37=46483
∑j（k：k=1～191）
=105+105*2*54*+581*41=35266
④：则计算出R=-2662445323

深入计算
113x+125y+131z=2^100非负整数解个数，
通解为
x=62m-51-125t
y=-55m+47+113t
z=[2^100/131]-m
当m=7时，z→k=[2^100/131]-6，k∈正整数
有基础解
x=8，y=1，s=（k/125）=38，∑i（s）=2265，
p=（k/113）=88，∑j（p）=4700
R=9023380
则f（2^100）=434219562050662777961754264084016935487784811980024678