求和的对象应该可以这样理解, 相当于对集合
S = {(a,b) | 1≤a≤p^(2k), 1≤b≤p^(2k), a,b为整数, 且p^(2k) | ab }
当中的全体整数对(a,b) 求和
当k等于0时结果是1, 当k为正整数时, 可以先将1~p^(2k)这些数组成的集合划分成2k+1个不同的集合A_0, A_1, A_2, …, A_(2k), 其中集合A_i 所包含的整数恰好被p^i 整除
对任意0≤i≤2k, 设 S(i) = ∑e^(-n/p^(2k)) (n∈A_i)
可以证明当i< 2k时 S(i) = 0, 当i = 2k时 S(i) = 1
这样
∑e (-(a+b)/p^(2k)) , (a,b)∈S
= ∑ e(-a/p^(2k))* e^(-b/p^(2k)) , (a,b)∈S
= ∑ e(-a/p^(2k))* e^(-b/p^(2k)), a∈A_i, b∈A_j, i+j≥2k
= ∑ ( S(i)*∑S(j) (2k-i≤j≤2k) ) , 0≤i≤2k
其中对任意0≤i≤2k,
∑S(j) (2k-i≤j≤2k) = 1
所以所求的和应该就等于
∑ S(i) (0≤i≤2k) = 1