10323 来一道高联难度的

高联是这种难度吗？

设AB=2
DN=a
D点作AB的垂线
AD=√(a²+a+1)
Sin∠DAN/Sin60°=MB/2
MB=2a/√(a²+a+1)
MB*BC=BN*BA=2
BC=(√(a²+a+1))/a
MC=BC-BM
DAN和DCM相似
DM=a*MC=(1+a-a²)/√(a²+a+1)
DMC和AMC相似
MC²=MD*MA
化简后得到
2a^3+3a²-a-1=0
化简为
(2a+1)(a²+a-1)=0
所以a²+a-1=0
这里不需要求出a=(√5-1)/2
欲证正三角形，只需下面相等
MB=2a/√(a²+a+1)
DM=(1+a-a²)/√(a²+a+1)
即a²+a-1=0
证毕

楼上是我最初的解法，比较繁琐。
下面这个解答来自于吧友“25年寒假作业”，目前看到的最优解法，非常巧妙。

作正△FNC，正△ACE
FAN和CBN全等
FA=CB
ACMN共圆
MN=MC
FMN和FMC全等
导角∠1=∠MFA
FA=MA
则CB=AM
AMC和CBE全等
CM=BE
并求得∠E内的两个角
进而ACD和EAB全等
AD=BE
则AD=CM
故MD=MB
略

使用同一法人，以DMB为正三角形构造整个图形，证明CD中分AB，设B关于MA对称点K，等价于证明AK^2=CK*AC，等价于证明AD^2=DM*AM，设MB中点关于DM的对称点U，对三角形UAD使用余弦定理即可