问题能说清楚点吗, 满足的方程在哪里

按照递推, x_n始终是有理数, 可以设它的最简形式分子和分母分别为a_n和b_n
这样递推公式通分之后可以写成
a_(n+1) / b_(n+1) = ((a_n)^2 + 2(b_n)^2) / (2*a_n*b_n)
已知a_n, b_n是互素正整数, 如果a_n是奇数
那(a_n)^2 + 2(b_n)^2也是奇数, 并且与a_n和b_n都互素, 所以(a_n)^2 + 2(b_n)^2与2*a_n*b_n互素
再由a_(n+1)与b_(n+1)是互素正整数, 可以推出
a_(n+1) = (a_n)^2 + 2(b_n)^2
b_(n+1) = 2*a_n*b_n
这样a_(n+1)也是奇数, 由于x_1 = 3/2, a_1=3是奇数, 就可以归纳证明上面的递推公式对任意正整数n都成立
所以对任意正整数n,
(a_(n+1))^2 - 2(b_(n+1))^2
= ((a_n)^2 + 2(b_n)^2)^2 - 2(2*a_n*b_n)^2
= ((a_n)^2 - 2(b_n)^2)^2
这样就可以求出
(a_n)^2 - 2(b_n)^2 = ((a_1)^2 - 2(b_1)^2) ^2 ^(n-1)
又因为(a_1)^2 - 2(b_1)^2 = 3^2 - 2*2^2 = 1, 所以在这个数列中, 对任意正整数n, (a_n)^2 - 2(b_n)^2恒等于1