能否给一个证明呢

不一定。
我还记得有一道求不定积分的题。
有的同学的结果是(tan(x))^2+C，
也有的同学的结果是(sec(x))^2+C，
于是他们就请老师评理。
老师答复：这两个答案都正确，言之有理即可，答案不唯一。

设f(x)的原函数为F(x)和G(x)，g(x)=F(x)-G(x)，g'(x)=f(x)-f(x)=0，得g(x)=C，即f(x)的原函数之间只相差一个常数项C，楼上那个三角函数的例子，其实两个答案就只差了常数项而已，因为tan²x+1=sec²x

首先可积函数未必存在原函数
其次即使存在原函数，也可以有个C的差距，这个差距有时候不是显式的，而是隐式地包含在表达式里（例如sin^2x和-cos^2x）
最后这个差距未必是一个全局的C，如果定义域是几个不相交的区间的话，每个区间都可以有自己的一个C

否

以secx为例

在取值上，只相差一个常数。

数学分析有证明过，一定只差若干个常数，换句话说都是平行的关系，如果样子不一样化简一下也能看出来。

是一样的，普利斯顿微积分读本上有

连续的话是，不连续的话，每一个连续的区间都是，不过每一个区间的C可以独立了，导致原函数可以有很多种，之间并不是相差常数项，但是意思是一样的

如果原函数存在的话，可以考虑中值定理的推论：导数相同的函数至多相差一个常数

是的

三角里面差一个常数导致形式不同的例子不少

同一个函数有很多不同的表示