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请教一个等价量代换的问题

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求形如f(x)^g(x)的1^∞未定式极限,一般不是不能用等价量吗,无穷次乘法运算极其容易让余项改变极限的结果,但取了指数之后变成lnf(x)/g(x)^-1这种0比0形未定式再用等价量代换就不会被余项影响,为什么我感觉这非常反直觉,只是取了个对数把指数写下来就能用等价量了,本质上发生啥变化了吗?(指对形式的时候等价量该怎么用,对数形式也还就那么用,为啥就能避免结果出现偏差?)
还有就是例3.3.12这道题教材上甚至演都不演了,直接指对的形式用等价量代换,这不是非常容易出错吗


IP属地:河南来自Android客户端1楼2025-09-21 12:46回复
    还有就是关于等价量代换后能不能使用洛必达法则,我想的是代还后可以用,但是求导会改变余项阶数,洛到余项主导极限结果之前余项都是不影响的,如果余项阶数一旦改变到影响极限的结果,余项就不能忽略了,这应该没问题吧


    IP属地:河南来自Android客户端2楼2025-09-21 13:36
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      2025-11-10 09:54:31
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      这样写好一些:(cos x)^{1/x^2}= e^{(ln cos x ) /x^2},lim (ln cos x ) /x^2= lim ln (1+(cos x-1)) /x^2= lim (cos x-1)/x^2= 1/2,于是lim(cos x)^{1/x^2}=e^{-1/2}。


      IP属地:广东来自Android客户端3楼2025-09-24 19:24
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