a=ab+c，b=bc+a，c=ca+b，
因为a，b，c为实数，
所以a=b=c=0，
因为a、b、c不全相等，
所以该方程无解，
所以a+b+c无意义。

感觉等于0这个结果不靠谱，但是我排除不了

哦哦a+b+c不可能等于0，这个用（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2可以推断

2021北大强基，见https://m.bilibili.com/video/BV1nh4y1M7h9?

考虑a,b,c为轮换对称，即a,b,c为某一个三次方程的3个根。
1.考虑a=0时，可得b=0；c=0;与题干矛盾，即a、b、c都不为0。
2.考虑是否存在a=b;可能bc=0，后续和情形1等同，可得a、b、c都不相等。
下面考虑消元化成3次方程形式。
a=ab+c，b=bc+a，c=ca+b
b=b(a-ab)+a=>a(b-b^2+1)=b
(a-ab)(1-a)=b=>(1-a)(1-b)=b-b^2+1
=>a(b-1)=(2-b)b
=>b-1=(2-b)(b-b^2+1)
b^3-3b^3+3=0
同理可得a^3-3a^3+3=0
c^3-3c^3+3=0;
a、b、c为x^3-3x^2+3=0的3个根。
a+b+c=3;

第二个就是解，计算机直接出答案了

三个式子全部相加，得ab+bc+ac=0。
另ab=bc=-1，ac=2，解得a=c=±√2，b=-（±1/√2）

a+b+c可以是非零任意值吧。红色是约束条件，蓝色是a+b+c=1，很明显a+b+c=k的平面与约束曲面始终存在相交，相交曲线就是a+b+c=k的解集合。

这是一个历史系大三生五分钟以内的极限了，至于不全相等不知道怎么证明，我读了三年大学三年没碰数学脑子退化成这种程度我已经很知足了

北京大学数学强基题，可以可以

【一道题，让你超越自己的思维上限-哔哩哔哩】 [p]网页链接 我记网页链接 题。

看起来很简单的思路。
三式相加得ab+bc+ca=0...................(1)
将上式平方得
(ab)²+(bc)²+(ca)²+2abc(a+b+c)=0...............(2)
第一式平方得
a²=(ab)²+c²+2abc
写出其他两个等式，再三式相加可得
(ab)²+(bc)²+(ca)²+6abc=0............(3)
比较(2)(3)即可得
a+b+c=3

这是让你理解轮换对称你试试把啊a、b换过了发现还成立同理b、c和a、c，知道是轮换对称就可去凑abc，a+b+c，ab+bc+ac这些对称式就很好解了