我感觉可以把这个四面体看做二部图，4个顶点和4个面作为左部，6条边作为右部，然后用三种颜色给二部图的14个『顶点』着色，要求相邻顶点的颜色不同。接下来就不知道怎么算了，编程运行的结果是1800。

根据端点颜色分布，端点着色方案分为以下四种情况：
- **情况1：四个端点颜色相同**
此类端点着色方案有3种（全红、全绿或全蓝）。
下面计算有效的棱和面着色方案数：
对于端点着色之后，设端点的颜色为a，另外两种颜色分别为b，c。
①若四个面全是a色，则四条边的端点、相邻面全是a色，所以它们可以在b，c两种颜色中任意选择，选法数为2^6。
②若四个面有一个是a色，其余3个全是b色，则四个面的涂色方法数为C(4,1)。此时6条边都至少与一个b色面相邻，又因为它们的端点都是a色，所以它们只能选c色，选法数为1，此类选法总数为C(4,1)×1。
③同理，有一个是a色，其余3个全是c色的选法数也是C(4,1)×1。
④若四个面有两个是a色，2个是b色，则四个面的涂色方法数为C(4,2)。此时两个b色面共有5条边（有一条公共边），这5条边只能是c色。而剩余一条边可以是b色，也可以是c色，有2种选择。所以此类选法总数为C(4,2)×2
⑤同理，四个面有两个是a色，2个是b色的选法数也是C(4,2)×2。
⑥若四个面有3个是a色，1个是b色，则四个面的涂色方法数为C(4,1)。b色面的三条边只能是c色，另外三条边都可以在b，c两种颜色中任选，选法数为2^3。所以此类选法总数为C(4,1)×2^3。
⑦同理，四个面有3个是a色，1个是c色的选法总数也为C(4,1)×2^3。
⑧若四个面全是b色，则四条边只能是c色，此时的选法数为1。
⑨同理，四个面全是c色的选法数也是1。
⑩若四个面的颜色包含b，c两种颜色，则对于b色面和c色面的公共边，它有两个a色端点、一个b色相邻面、一个c色相邻面，所以无论给它涂任何颜色都不符合要求。所以此类情况不存在。
综上，有效的边和面着色方案数为2^6+(C(4,1)×1+C(4,2)×2+C(4,1)×2^3+1)×2=162。
此类总计：3 ×162 = 486。
- **情况2：三个端点颜色相同，一个端点颜色不同**
此类端点着色方案有C(4,1)×A（3，2）=24种。
对于端点着色之后，设三个颜色相同的端点的颜色为b，另一个端点的颜色为a。
下面计算有效的棱和面着色方案数：
取a色端点为四面体的顶点，则三条侧棱的两个端点一个为a色，一个为b色，所以它们只能为c色。而底边的两个端点为b色，所以它们可以涂a色或c色。
①若底边全是c色，即六条边全为c色，则每个面都可以涂a，b两种颜色，涂色方法数为2^4。
②若底边有1个a色，两个c色，则这三条边的涂色方法数为C(3,1)。此时a色底边所在的两个面都含有a色边和c色边，故这两个面只能涂b色。而其余两个面的三边均为c色，因此它们可以涂a，b两种颜色，涂色方法数为2^2。所以涂法总数为C(3,1)×2^2。
③若底边有2个a色，一个c色，则这三条边的涂色方法数为C(3,1)。此时两个a色底边所在的三个面都含有a色边和c色边，故这三个面只能涂b色。而剩余一个面的三边均为c色，因此它们可以涂a，b两种颜色，涂色方法数为2。所以涂法总数为C(3,1)×2。
④若底边全是a色，则三个侧面都含有a色边和c色边，故侧面只能涂b色，而底面的三边均为c色，因此它可以涂a，b两种颜色，涂色方法数为2。所以此类涂法总数2。
综上，有效的边和面着色方案数为2^4+C(3,1)×2^2+C(3,1)×2+2=36。
此类总计：24×36 = 864。
- **情况3：两对端点，每对颜色相同，且两对颜色不同**
此类端点着色方案有C(4,2)A(3,2)=18种。
对于端点着色之后，不妨设A，B端点颜色相同，颜色为a；C，D端点颜色相同，颜色为b。
下面计算有效的棱和面着色方案数：
AC、AD、BC、BD四条边的端点均为一a一b，所以它们的颜色都只能为c。
而AB边的端点均为a，所以它可以涂b，c两种颜色，同理，CD边可以涂a，c两种颜色。
①若AB、CD都涂c。即六条边全为c色，则每个面都可以涂a，b两种颜色，涂色方法数为2^4。
②若AB涂b，CD涂c，则AB所在的两个面都含有b色边和c色边，故这两个面只能涂a色。而其余两个面的三边均为c色，因此它们可以涂a，b两种颜色，涂色方法数为2^2。所以此类涂法总数为2^2。
③同理，若AB涂c，CD涂a，涂法总数也为2^2。
④若若AB涂b，CD涂a，则AB所在的两个面都含有b色边和c色边，故这两个面只能涂a色；CD所在的两个面都含有a色边和c色边，故这两个面只能涂b色。所以涂法总数为1。
综上，有效的边和面着色方案数为2^4+2^2+2^2+1=25。
此类总计：18 × 25 = 450。
- **情况4：两个端点颜色相同，另两个端点颜色各不相同（且与第一对颜色均不同）**
不妨设A，B涂a色，C涂b色，D涂c色，
则AC边只能涂c色，AD边只能涂b色，CD边只能涂a色，
所以面ACD的三边颜色各不相同，所以无论给这个面涂任何颜色都不符合要求。所以此类情况不存在。
将所有情况的总数相加：
486 + 864 + 450 + 0 = 1800。