有没有无论如何都不能成为群的集合？【数学吧】

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有没有无论如何都不能成为群的集合？

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如图所示，书上写从“群范畴”到“集合范畴”的遗忘函子不是objects上的双射的，我知道这里应是指同一个集合可以有不同的群结构（所以不是单射），但是它是不是满射呢？任意一个集合都能通过对群乘法的选择成为群吗？

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来自Android客户端1楼2025-09-05 17:15回复

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来自Android客户端2楼2025-09-05 17:53

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有平凡的做法。
对于任意至多可数集合A，总存在一个和它等势的循环群B，故存在一个A到B的双射，把循环群B上的群结构用该双射拉回A即可。
对于任意不可数集合C，总存在一族循环群的直和组成的群D，这个新的群D和C等势（这是由于，设k是无穷基数，有限个可数集的直和是可数势，k个可数集直和是k个有限可数集直和的并，所以至多是k，反过来肯定不少于k），故存在一个D到C的双射，然后用双射拉回群结构即可。

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来自Android客户端3楼2025-09-05 19:34